下册 7.2 多元函数的可微性 第5题
📝 题目
5．求解或证明下列各题．
（1）设 $f$ 二阶可微，$u(x, y, z)=f(r), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ．
（2）若 $u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ，试求出函数 $u$ 。
（3）若 $u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=F(r)$ ，试求出函数 $F(r)$ ．
（2）设 $u(x, y)$ 是 $\mathbf{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ 上 $C^{2}$ 径 向函数，即存在一元函数 $f(x)$ 使得 $u(x, y)=f(r)$ ， $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $f$ 满足的方程及函数 $u(x, y)$ ．
（3）设 $u=u(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, n \geqslant 3$ ，若 $u$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0$ ，求 $u$ ．
（4）已知 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right), u=f(v), \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ ，且 $\displaystyle f(1)=-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ， $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．求 $f(v)$ ．
（5）设函数 $u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ ，试求函数 $f$ 的表达式．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime}(r) \frac{x}{r}, \frac{\partial u}{\partial y}=f^{\prime}(r) \frac{y}{r}, \frac{\partial u}{\partial z}=f^{\prime}(r) \frac{z}{r}$ ，所以
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}(r) \frac{x^{2}}{r^{2}}+f^{\prime}(r) \frac{r-\frac{x^{2}}{r}}{r^{2}}=f^{\prime \prime}(r) \frac{x^{2}}{r^{2}}+f^{\prime}(r) \frac{y^{2}+z^{2}}{r^{3}}
$$
同理可得 $\displaystyle \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}(r) \frac{y^{2}}{r^{2}}+f^{\prime}(r) \frac{x^{2}+z^{2}}{r^{3}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=f^{\prime \prime}(r) \frac{z^{2}}{r^{2}}+f^{\prime}(r) \frac{x^{2}+y^{2}}{r^{3}}$ ．
（1）由条件得 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=f^{\prime \prime}(r)+\frac{2}{r} f^{\prime}(r)$ ．
（2）由条件得
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=f^{\prime \prime}(r)+\frac{2}{r} f^{\prime}(r)=0 \text {, 或 } r^{2} f^{\prime \prime}(r)+2 r f^{\prime}(r)=0 \text {. }
$$
于是由 $\left(r^{2} f^{\prime}(r)\right)^{\prime}=0$ 得 $\displaystyle f^{\prime}(r)=\frac{C}{r^{2}}$ ．解之得 $\displaystyle f(r)=-\frac{C}{r}+C_{1}$ ，其中 $C, C_{1}$ 为任意常数．
（3）由条件得 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=f^{\prime \prime}(r)+\frac{2}{r} f^{\prime}(r)$ ．于是 $\displaystyle F(r)=f^{\prime \prime}(r)+2 f^{\prime}(r) \frac{1}{r}$ ．
（2）令 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，则
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}, \frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime}(r) \frac{x}{r} \\
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}(r) \frac{x}{r} \cdot \frac{x}{r}+f^{\prime}(r) \frac{1}{r^{2}}\left(r-x \cdot \frac{x}{r}\right)=f^{\prime \prime}(r) \frac{x^{2}}{r^{2}}+f^{\prime}(r) \frac{y^{2}}{r^{3}} ; \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}(r) \frac{y^{2}}{r^{2}}+f^{\prime}(r) \frac{x^{2}}{r^{3}}
\end{gathered}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}(r)+\frac{f^{\prime}(r)}{r} \\
& f^{\prime \prime}(r)+\frac{f^{\prime}(r)}{r}=0
\end{aligned}
$$
解之得 $\displaystyle \ln f^{\prime}(r)=\ln \frac{1}{r}+C$ ．所以 $f(r)=C_{1} \ln r+C_{2}$ ，这里 $C, C_{1}, C_{2}$ 均为常数．于是
$$
u(x, y)=C_{1} \ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)+C_{2}
$$
（3）因为
$$
\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x_{i}}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} r} \cdot \frac{x_{i}}{r}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}} \cdot \frac{x_{i}^{2}}{r^{2}}+\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} r} \cdot \frac{r^{2}-x_{i}^{2}}{r^{3}}, i=1,2, \cdots, n .
$$
所以
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r}-\frac{1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r} .
$$
解之得 $\displaystyle u=C_{1} \frac{1}{2-n} r^{2-n}+C$ ．
（4）记 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, v=\ln r$ ，则 $u=f(v)$ ．
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime}(v) \frac{x}{r^{2}}, \frac{\partial u}{\partial y}=f^{\prime}(v) \frac{y}{r^{2}}, \frac{\partial u}{\partial z}=f^{\prime}(v) \frac{z}{r^{2}} . \\
& \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}(v) \frac{x^{2}}{r^{4}}+f^{\prime}(v) \frac{1}{r^{4}}\left(r^{2}-2 x r \frac{x}{r}\right)=f^{\prime \prime}(v) \frac{x^{2}}{r^{4}}+f^{\prime}(v) \frac{r^{2}-2 x^{2}}{r^{4}} . \\
& \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}(v) \frac{y^{2}}{r^{4}}+f^{\prime}(v) \frac{r^{2}-2 y^{2}}{r^{4}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=f^{\prime \prime}(v) \frac{z^{2}}{r^{4}}+f^{\prime}(v) \frac{r^{2}-2 z^{2}}{r^{4}} .
\end{aligned}
$$
同理
于是 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=f^{\prime \prime}(v) \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{4}}+f^{\prime}(v) \frac{3 r^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{r^{4}}=f^{\prime \prime}(v) \frac{1}{r^{2}}+f^{\prime}(v) \frac{1}{r^{2}}$ ．
由条件得
$$
f^{\prime \prime}(v) \frac{1}{r^{2}}+f^{\prime}(v) \frac{1}{r^{2}}=r^{-3} \text {, 即 } f^{\prime \prime}(v)+f^{\prime}(v)=\frac{1}{r} \text {. }
$$
解方程 $f^{\prime \prime}(v)+f^{\prime}(v)=\mathrm{e}^{-v}$ 得
$$
f(v)=-(v+1) \mathrm{e}^{-v}+C_{2}+\mathrm{e}^{-v} C_{1} .
$$
把 $\displaystyle f(1)=-\frac{2}{\mathrm{e}}, f^{\prime}(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 代人得 $C_{2}=C_{1}=0$ ．于是 $f(v)=-(v+1) \mathrm{e}^{-v}$ ．
（5）与（4）相同的求解方法得
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}=f^{\prime \prime}(v) \frac{x^{2}+y^{2}}{r^{4}}+f^{\prime}(v) \frac{2 r^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{4}}=f^{\prime \prime}(v) \frac{1}{r^{2}} .
$$
由条件得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(v) \frac{1}{r^{2}}=r^{3}$ ，即 $f^{\prime \prime}(v)=r^{5}$ 。解方程 $f^{\prime \prime}(v)=\mathrm{e}^{5 v}$ 得 $\displaystyle f(v)=\frac{1}{25} \mathrm{e}^{5 v}+v C_{1}+C_{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：计算一阶偏导数
设 $u(x,y,z)=f(r)$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。则 $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}$，由链式法则得 $\frac{\partial u}{\partial x}=f'(r)\frac{x}{r}$，同理 $\frac{\partial u}{\partial y}=f'(r)\frac{y}{r}$，$\frac{\partial u}{\partial z}=f'(r)\frac{z}{r}$。
公式：链式法则：$\frac{\partial u}{\partial x}=f'(r)\frac{\partial r}{\partial x}$
提示：注意 $r$ 是 $x,y,z$ 的函数，求导时不要忘记 $\frac{\partial r}{\partial x}$。
步骤 2/9
目标：计算二阶偏导数
对 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 再次求导：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f''(r)\frac{x^2}{r^2}+f'(r)\frac{r-x\cdot\frac{x}{r}}{r^2}=f''(r)\frac{x^2}{r^2}+f'(r)\frac{y^2+z^2}{r^3}$。同理可得 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f''(r)\frac{y^2}{r^2}+f'(r)\frac{x^2+z^2}{r^3}$，$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=f''(r)\frac{z^2}{r^2}+f'(r)\frac{x^2+y^2}{r^3}$。
公式：乘积法则和链式法则
提示：计算 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right)$ 时，注意 $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}$，得到 $\frac{r-x\cdot\frac{x}{r}}{r^2}=\frac{r^2-x^2}{r^3}$。
步骤 3/9
目标：求和得到拉普拉斯算子
将三个二阶偏导数相加：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=f''(r)\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}+f'(r)\frac{(y^2+z^2)+(x^2+z^2)+(x^2+y^2)}{r^3}=f''(r)+f'(r)\frac{2(x^2+y^2+z^2)}{r^3}=f''(r)+\frac{2}{r}f'(r)$。
公式：拉普拉斯算子：$\Delta u = f''(r)+\frac{2}{r}f'(r)$
提示：注意 $x^2+y^2+z^2=r^2$，化简时不要出错。
步骤 4/9
目标：求解拉普拉斯方程
由 $\Delta u=0$ 得 $f''(r)+\frac{2}{r}f'(r)=0$，即 $r^2 f''(r)+2r f'(r)=0$。注意到 $(r^2 f'(r))'=0$，积分得 $r^2 f'(r)=C$，故 $f'(r)=\frac{C}{r^2}$。再积分得 $f(r)=-\frac{C}{r}+C_1$，其中 $C,C_1$ 为任意常数。
公式：常微分方程：$(r^2 f')'=0$
提示：注意积分常数不要遗漏。
步骤 5/9
目标：求解非齐次方程
若 $\Delta u = F(r)$，则 $F(r)=f''(r)+\frac{2}{r}f'(r)$。此即为所求。
公式：无新公式
提示：直接代入即可。
步骤 6/9
目标：二维径向函数情形
对于二维 $u(x,y)=f(r)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$。类似计算得 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)$。令其为零得 $f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)=0$，即 $(r f'(r))'=0$，积分得 $r f'(r)=C$，$f'(r)=\frac{C}{r}$，再积分得 $f(r)=C_1\ln r+C_2$。故 $u(x,y)=C_1\ln\sqrt{x^2+y^2}+C_2$。
公式：二维拉普拉斯算子：$\Delta u = f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)$
提示：注意二维与三维的区别：系数 $\frac{n-1}{r}$ 中的 $n$ 为维数。
步骤 7/9
目标：n维径向函数情形
对于 $n$ 维，$u=u(r)$，$r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$。计算得 $\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=u''(r)\frac{x_i^2}{r^2}+u'(r)\frac{r^2-x_i^2}{r^3}$，求和得 $\Delta u = u''(r)+\frac{n-1}{r}u'(r)$。令其为零得 $u''(r)+\frac{n-1}{r}u'(r)=0$，即 $(r^{n-1}u'(r))'=0$，积分得 $r^{n-1}u'(r)=C$，$u'(r)=Cr^{1-n}$，再积分得 $u(r)=C_1 r^{2-n}+C_2$（$n\neq2$）。
公式：n维拉普拉斯算子：$\Delta u = u''(r)+\frac{n-1}{r}u'(r)$
提示：注意 $n\geq3$ 时 $2-n\neq0$，积分公式为 $\int r^{1-n}dr = \frac{r^{2-n}}{2-n}$。
步骤 8/9
目标：复合变量情形（三维）
设 $v=\ln r$，$u=f(v)$。计算一阶偏导：$\frac{\partial u}{\partial x}=f'(v)\frac{x}{r^2}$。二阶偏导：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f''(v)\frac{x^2}{r^4}+f'(v)\frac{r^2-2x^2}{r^4}$。求和得 $\Delta u = f''(v)\frac{1}{r^2}+f'(v)\frac{1}{r^2}$。由条件 $\Delta u = r^{-3}$ 得 $f''(v)+f'(v)=e^{-v}$。解此二阶线性常系数微分方程：齐次解 $f_h=C_1 e^{-v}+C_2$，特解设为 $A v e^{-v}$，代入得 $A=-1$，故通解 $f(v)=-(v+1)e^{-v}+C_1 e^{-v}+C_2$。利用初始条件 $f(1)=-\frac{2}{e}$，$f'(1)=\frac{1}{e}$ 得 $C_1=C_2=0$，所以 $f(v)=-(v+1)e^{-v}$。
公式：微分方程：$f''+f'=e^{-v}$
提示：注意特解形式：由于 $e^{-v}$ 是齐次解，需乘以 $v$。
步骤 9/9
目标：复合变量情形（二维）
类似地，设 $v=\ln r$，$u=f(v)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$。计算得 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f''(v)\frac{1}{r^2}$。由条件等于 $r^3$ 得 $f''(v)=r^5=e^{5v}$。积分两次：$f'(v)=\frac{1}{5}e^{5v}+C_1$，$f(v)=\frac{1}{25}e^{5v}+C_1 v+C_2$。
公式：微分方程：$f''=e^{5v}$
提示：注意积分常数不要遗漏。
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