下册 7.2 多元函数的可微性 第9题
📝 题目
9．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的连续性，并计算 $f_{x}^{\prime}(0,0), f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为
$$
0 \leqslant|f(x, y)|=\left|x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant 2|x| \cdot|y| \rightarrow 0,(x, y) \rightarrow(0,0),
$$
所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ．故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时，$\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)=y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4 x^{2} y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ ．所以
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0 \\
& f_{x y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f_{x}^{\prime}(0,0+\Delta y)-f_{x}^{\prime}(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{-\Delta y}{\Delta y}=-1
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断连续性：估计|f(x,y)|的上界
由于 $|f(x,y)| = \left| xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right| \leq |xy| \cdot \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} = |xy|$，但更精确地，利用 $|x^2-y^2| \leq x^2+y^2$，可得 $|f(x,y)| \leq |xy|$。然而，为了得到趋于0的更强估计，注意到 $|x^2-y^2| \leq x^2+y^2$，所以 $|f(x,y)| \leq |xy|$。但 $|xy| \to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$，因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，故连续。
公式：$|f(x,y)| \leq |xy|$
提示：注意 $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 的绝对值不超过1，因此 $|f(x,y)| \leq |xy|$。
步骤 2/6
目标：计算一阶偏导数 $f_x(0,0)$
由定义：$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$。由于 $f(\Delta x,0) = \Delta x \cdot 0 \cdot \frac{\Delta x^2-0}{\Delta x^2+0}=0$，且 $f(0,0)=0$，所以极限为0。因此 $f_x(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$
提示：注意 $f(x,0)=0$ 对所有 $x$ 成立，所以偏导数为0。
步骤 3/6
目标：计算混合偏导数 $f_{xy}(0,0)$ 的定义
混合偏导数 $f_{xy}(0,0)$ 定义为 $\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f_x(0,\Delta y)-f_x(0,0)}{\Delta y}$。已知 $f_x(0,0)=0$，需要先求出 $f_x(0,\Delta y)$。
公式：$f_{xy}(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f_x(0,\Delta y)-f_x(0,0)}{\Delta y}$
提示：注意这里 $f_x(0,\Delta y)$ 是 $f_x$ 在点 $(0,\Delta y)$ 的值，需要利用偏导函数表达式。
步骤 4/6
目标：求 $f_x(x,y)$ 的表达式（当 $(x,y)\neq(0,0)$）
当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$。对 $x$ 求偏导：使用乘积法则和商法则。令 $u=xy$，$v=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$，则 $f_x = u_x v + u v_x$。其中 $u_x=y$，$v_x = \frac{2x(x^2+y^2) - (x^2-y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2}$。所以 $f_x(x,y)= y\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} + xy\cdot\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2} = y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} + \frac{4x^2 y^3}{(x^2+y^2)^2}$。
公式：$f_x(x,y)= y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} + \frac{4x^2 y^3}{(x^2+y^2)^2}$
提示：注意求导时不要遗漏项，且化简要小心。
步骤 5/6
目标：计算 $f_x(0,\Delta y)$
将 $(x,y)=(0,\Delta y)$ 代入 $f_x(x,y)$ 表达式，注意 $\Delta y \neq 0$。此时 $x=0$，则第一项 $y\frac{0-\Delta y^2}{0+\Delta y^2} = \Delta y \cdot (-1) = -\Delta y$；第二项 $\frac{4\cdot0^2\cdot \Delta y^3}{(0+\Delta y^2)^2}=0$。所以 $f_x(0,\Delta y) = -\Delta y$。
公式：$f_x(0,\Delta y) = -\Delta y$
提示：代入时注意 $x=0$ 简化计算。
步骤 6/6
目标：计算混合偏导数 $f_{xy}(0,0)$
代入定义：$f_{xy}(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f_x(0,\Delta y)-f_x(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{-\Delta y - 0}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} (-1) = -1$。
公式：$f_{xy}(0,0) = -1$
提示：注意极限过程是 $\Delta y \to 0$，结果与路径无关。
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