下册 7.2 多元函数的可微性 第10题
📝 题目
10．讨论下列函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $(x, y)$ 沿 $y=x$ 趋于原点时有 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=0$ ；
当 $(x, y)$ 沿 $y=0$ 趋于原点时有 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}}=1$ ，
因此 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在，当然 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续，从而不可微．
（2）当 $(x, y)$ 沿 $y=x$ 趋于原点时有 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}-x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0}(x-1)=-\frac{1}{2}$ ；
当 $(x, y)$ 沿 $y=0$ 趋于原点时有 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{x^{2}}=0$ ．
因此 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在，当然 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续，从而不可微．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断可微性的必要条件：连续性
函数在一点可微的必要条件是它在这一点连续。因此，我们首先检查函数 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 是否连续。若极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在或不等于 $f(0,0)=0$，则函数不连续，从而不可微。
提示：注意：可微必连续，反之不成立。但若不连续，则一定不可微。
步骤 2/5
目标：（1）沿不同路径求极限
对于函数 $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$（$(x,y)\neq(0,0)$），考虑两条路径：
- 沿 $y=x$ 趋于原点：$\lim_{x\to0} f(x,x)=\lim_{x\to0}\frac{x^2-x^2}{x^2+x^2}=0$。
- 沿 $y=0$ 趋于原点：$\lim_{x\to0} f(x,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=1$。
两个极限不相等，因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在。
提示：选择路径时，应尽量简单且能体现差异。常用路径有 $y=kx$、$y=x^2$ 等。
步骤 3/5
目标：（1）结论：不连续，不可微
由于极限不存在，函数 $f(x,y)$ 在原点不连续。根据可微的必要条件，函数在原点不可微。
提示：注意：即使连续，也不一定可微，还需进一步验证。
步骤 4/5
目标：（2）沿不同路径求极限
对于函数 $f(x,y)=\frac{x^3-y^2}{x^2+y^2}$（$(x,y)\neq(0,0)$），考虑两条路径：
- 沿 $y=x$ 趋于原点：$\lim_{x\to0} f(x,x)=\lim_{x\to0}\frac{x^3-x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}(x-1)=-\frac{1}{2}$。
- 沿 $y=0$ 趋于原点：$\lim_{x\to0} f(x,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=0$。
两个极限不相等，因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在。
提示：计算时注意化简，如 $\frac{x^3-x^2}{2x^2}=\frac{x-1}{2}$。
步骤 5/5
目标：（2）结论：不连续，不可微
由于极限不存在，函数 $f(x,y)$ 在原点不连续。根据可微的必要条件，函数在原点不可微。
提示：注意：本题中两个函数均因不连续而不可微，但有些函数连续却不可微，需进一步判断。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。