下册 7.2 多元函数的可微性 第11题

\section*{解题过程：} 因为当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时有 $$ 0 \leqslant \frac{|x y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \rightarrow 0,(x, y) \rightarrow(0,0) $$ 所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ，因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续． 经计算得 $$ f_{x}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{y^{3}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0, \end{array} f_{y}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{3}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 . \end{array}\right.\right. $$ 当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时有 $|y|^{3} \leqslant \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}$ ，从而有 $\displaystyle \left|\frac{y^{3}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}\right| \leqslant 1$ ．因此 $\forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ 有 $\left|f_{x}(x, y)\right| \leqslant 1$ ．故 $f_{x}(x, y)$ 在整个平面上有界。同理 $f_{y}(x, y)$ 也在整个平面上有界。 $$ \begin{aligned} & f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0 \\ & f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta y}=0 \end{aligned} $$ 即函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 的两个偏导数都存在． $$ f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}^{\prime}(0,0) \Delta x-f_{y}^{\prime}(0,0) \Delta y=\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} $$ 令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta x \Delta y}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \sin \theta \cos \theta$ 不存在，故函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 不可微。