下册 7.2 多元函数的可微性 第12题

\section*{解题过程：} （1）因为 $$ 0 \leqslant \frac{x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \leqslant \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \text {, 且 } \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=0 \text {, } $$ 所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ．因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续． 因为 $$ f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta y}=0 $$ 所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在． 令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则 $$ \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\frac{(\Delta x)^{2}(\Delta y)^{2}}{\left((\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right)^{2}}=(\sin \theta \cos \theta)^{2} \mapsto 0\left(r \rightarrow 0^{+}\right) $$ 所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微． （2）令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $$ \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r\left(\cos \theta-\sin \theta+\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta\right)=0=f(0,0) $$ 从而 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续． 由（1）知 $\displaystyle \frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ 在点 $(0,0)$ 处不可微，而 $x-y$ 在点 $(0,0)$ 处可微，所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．