下册 7.2 多元函数的可微性 第13题

\section*{解题过程：} （1）当 $\displaystyle \frac{1}{2}<\mu<1$ 时， $$ \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{r^{2} \sin \theta \cos \theta}{r^{2 \mu}}=0=f(0,0), $$ 所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续． $$ f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=0, f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=0 $$ 当 $(x, y)$ 沿 $y=x$ 趋于原点时有 $$ \left|\frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}\right|=\left|\frac{\tan (\Delta x \Delta y)}{\left((\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right)^{\mu+\frac{1}{2}}}\right|=\left|\frac{\tan (\Delta x \Delta x)}{\left(2(\Delta x)^{2}\right)^{\mu+\frac{1}{2}}}\right|=\frac{1}{2^{\mu+\frac{1}{2}}}\left|\frac{\tan (\Delta x \Delta x)}{(\Delta x)^{2 \mu+1}}\right| \rightarrow \infty $$ 从而 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上不可微． 当 $\mu \geqslant 1$ 时，当 $(x, y)$ 沿 $y=x$ 趋于原点时有 $$ \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=x}} \frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x^{2}}{2^{\mu} x^{2 \mu}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{2^{\mu} x^{2 \mu}}=\infty $$ 所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续，从而 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上不可微． （2）当 $(x, y) \neq(0,0)$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 连续． 当 $(x, y)=(0,0)$ 时，由 $$ 0 \leqslant\left|\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}\right|=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}|y| \leqslant|y| \rightarrow 0,(x, y) \rightarrow(0,0) $$ 得 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ．因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续．从而 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上连续． 当 $(x, y)=(0,0)$ 时， 因 $$ \begin{aligned} f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0} & =0, f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=0 \\ \left|\frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\rho}\right| & =\left|\frac{1}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}} \frac{(\Delta x)^{2} \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{4}+(\Delta y)^{2}}}\right| \\ & =\left|\frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}} \frac{\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{4}+(\Delta y)^{2}}} \Delta x\right| \leqslant|\Delta x| \end{aligned} $$ 所以 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta f-f_{x}^{\prime}(0,0) \Delta x-f_{y}^{\prime}(0,0) \Delta y}{\rho}=0$ ．从而二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微． 当 $(x, y) \neq(0,0)$ 时， $$ f_{x}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{2 x y^{3}}{\sqrt{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0), \end{array} f_{y}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{6}}{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{3}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) . \end{array}\right.\right. $$ 易得 $f_{x}(x, y)$ 与 $f_{y}(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续，所以二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微． 综上所述，二元函数 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上处处可微．