下册 7.2 多元函数的可微性 第14题
📝 题目
14．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$f(x, y)$ 对每个变量 $x, y$ 连续，但是关于二元函数不连续；（2）$f(x, y)$ 在原点处任何方向导数都存在；（3）在原点不可微．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为
$$
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=x}} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1+x^{2}}=0, \lim _{\substack{y \rightarrow 0 \\ y^{2}=x}} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}=\frac{1}{2},
$$
所以 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}$ 不存在．所以函数在原点不连续．
易得 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)=f\left(x_{0}, y\right)$ ，故 $f(x, y)$ 对变量 $x$ 连续．同理 $f(x, y)$ 对变量 $y$ 连续．
（2）$\forall \alpha$ ，函数沿方向 $\nu=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的方向导数为
$$
\frac{\partial f}{\partial v}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+t \cos \alpha, 0+t \sin \alpha)-f(0,0)}{t-0}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{2 \cos \alpha \sin ^{2} \alpha \cdot t^{3}}{\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{4} \alpha \cdot t^{2}\right) t^{2}}=0 .
$$
所以函数在原点 $(0,0)$ 处沿各个方向的方向导数都存在．
（3）函数在原点不连续，因而不可微．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明对每个变量连续
对于固定的 $y$，$f(x,y)$ 是 $x$ 的有理函数（分母不为零时），且当 $x^2+y^2=0$ 时定义为0，因此 $f(x,y)$ 对 $x$ 连续。同理，对固定的 $x$，$f(x,y)$ 对 $y$ 连续。
提示：注意在非原点处函数是初等函数，连续；原点处需单独验证，但这里只需说明对每个变量连续，可分别固定变量后考虑极限。
步骤 2/4
目标：证明二元函数不连续
考虑两条路径：
1. 沿直线 $y=x$ 趋于 $(0,0)$：
$$\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot x^2}{x^2+x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{x^2(1+x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{1+x^2}=0.$$
2. 沿曲线 $x=y^2$ 趋于 $(0,0)$：
$$\lim_{y\to 0} \frac{y^2\cdot y^2}{y^4+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^4}{2y^4} = \frac12.$$
两个极限不相等，故极限不存在，函数在原点不连续。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^4}$$
提示：选择路径时，注意分母中 $x^2$ 和 $y^4$ 的幂次不同，尝试令 $x=y^2$ 可使分母两项同阶。
步骤 3/4
目标：证明方向导数存在
设方向向量 $\nu=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，则方向导数为：
$$\frac{\partial f}{\partial \nu}(0,0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}.$$
代入函数表达式：
$$f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)=\frac{t\cos\alpha\cdot t^2\sin^2\alpha}{t^2\cos^2\alpha+t^4\sin^4\alpha}=\frac{t^3\cos\alpha\sin^2\alpha}{t^2(\cos^2\alpha+t^2\sin^4\alpha)}.$$
因此
$$\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)}{t}=\frac{t^2\cos\alpha\sin^2\alpha}{t^2(\cos^2\alpha+t^2\sin^4\alpha)}=\frac{\cos\alpha\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+t^2\sin^4\alpha}.$$
当 $t\to 0^+$ 时，若 $\cos\alpha\neq 0$，极限为 $\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$；若 $\cos\alpha=0$，则分子为0，极限为0。因此极限存在，方向导数存在。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial \nu}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}$$
提示：注意方向导数定义中 $t\to 0^+$，但这里 $t$ 可正可负，结果相同。需分情况讨论 $\cos\alpha=0$ 的情况。
步骤 4/4
目标：证明不可微
若函数在原点可微，则必连续，但已证函数在原点不连续，故不可微。
提示：可微的必要条件是连续，因此不连续必然不可微。
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