下册 7.2 多元函数的可微性 第18题

\section*{解题过程：} （1）因为 $$ \left|\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant\left|\frac{(x+y) x y}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant \frac{|x+y|}{2} \leqslant \frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{2} \text {, 且 } \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{2}\right)=0 \text {. } $$ 故 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=f(0,0)=0$ ．从而 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续． 下证：$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微． $$ f_{x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=0, \quad f_{y}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=0 $$ 由于 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=k x}} \frac{(\Delta x+\Delta y) \sin [(\Delta x)(\Delta y)]}{\sqrt{\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right]^{3}}}=\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=k x}} \frac{(1+k) \Delta x \sin \left[k(\Delta x)^{2}\right]}{\sqrt{\left(1+k^{2}\right)^{3}(\Delta x)^{3}}}=\frac{k(1+k)}{\left(1+k^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$ 与 $k$ 有关，故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$处不可微． （2）由于 $$ \left|\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}\right| \leqslant\left|\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant|y| \rightarrow 0,(x, y) \rightarrow(0,0) $$ 得 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ，所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续． $$ \begin{aligned} & f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0 \\ & f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta y}=0 \end{aligned} $$ 因 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=k x}} \frac{(\Delta y)^{3}}{\sqrt{\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right]^{3}}} \sin \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=k x}} \frac{(k \Delta x)^{3} \sin k}{\sqrt{\left(1+k^{2}\right)^{3}(\Delta x)^{3}}}=\frac{k^{3} \sin k}{\left(1+k^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$ 与 $k$ 有关，故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微。 （3）由于 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=0=f(0,0)$ ，故函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续． $$ \begin{aligned} f_{x}(0,0) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0 . \\ f_{y}(0,0) & =\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta y \sin \frac{1}{(\Delta y)^{2}}-0}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \sin \frac{1}{(\Delta y)^{2}} \text {, 不存在. } \end{aligned} $$ 故函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处关于 $y$ 的偏导数不存在．进一步得 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．