下册 7.2 多元函数的可微性 第19题

\section*{解题过程：} （1）当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时，有 $$ f_{x}(x, y)=\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} \sin \frac{y}{x}-\frac{y}{x^{\frac{2}{3}}} \cos \frac{y}{x}, f_{y}(x, y)=x^{\frac{1}{3}} \cos \frac{y}{x} $$ 因为 $f_{x}(x, y)$ 与 $f_{y}(x, y)$ 在点 $(x, y) \neq(0,0)$ 连续，所以 $f(x, y)$ 在点 $(x, y) \neq(0,0)$ 可微． 按偏导数定义 $$ f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta y}=0 . $$ 即函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 的两个偏导数都存在． $$ \Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y=f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y=\Delta x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{\Delta y}{\Delta x} $$ 令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则 $$ \frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\frac{(r \cos \theta)^{\frac{4}{3}}}{r} \sin (\tan \theta)=r^{\frac{1}{3}}(\cos \theta)^{\frac{4}{3}} \sin (\tan \theta) $$ 由于 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{\frac{1}{3}}(\cos \theta)^{\frac{4}{3}} \sin (\tan \theta)=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta z-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=0$ 。因而函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 可微．所以函数 $f(x, y)$ 在平面中所有的点都可微． （2）不可微．若函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微，则存在常数 $A, B$ ，使得在点 $(0,0)$ 的某邻域内有 $$ f(x, y)=A x+B y+o\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) . $$ 由 $f(0, y)=0=B y+o(y)$ 得 $B=0$ ．由 $f(x, 0)=0=A x+o(x)$ 得 $A=0$ ．于是 $f(x, y)=o\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ ，但 $\displaystyle \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1-\cos 1 \longmapsto 0$ ，矛盾．故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．