下册 7.2 多元函数的可微性 第20题
📝 题目
20．讨论下列函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0=f(0,0)$ ，故函数在点 $(0,0)$ 处连续． $\displaystyle f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0$.
令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \sin \frac{1}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{r}=0 .
$$
因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微．
（2）当 $p \leqslant 0$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x, x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2 p} \sin \frac{1}{\sqrt{2} x}$ 不存在，故 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在．从而 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，当然 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．
当 $p>0$ 时，
$$
f_{x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{0-0}{x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{0-0}{y}=0 .
$$
令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则
$$
\begin{aligned}
& \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \\
& =\frac{(\Delta x \Delta y)^{p}}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \sin \frac{1}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=r^{2 p-1}(\cos \theta \sin \theta)^{p} \sin \frac{1}{r}
\end{aligned}
$$
当 $0<2 p \leqslant 1$ 时， $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$ 不存在，故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微。
当 $2 p>1$ 时， $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{2 p-1}(\cos \theta \sin \theta)^{p} \sin \frac{1}{r}=0$ ．故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微．
（3）因 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=0=f(0,0)$ ，故函数在点 $(0,0)$ 处连续．
$$
f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0 .
$$
令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \cos \frac{1}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r \cos \theta \sin \theta \cos \frac{1}{r^{2}}=0
$$
因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断连续性
计算极限 $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$。由于 $|xy\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})| \leq |xy| \to 0$，由夹逼定理得极限为0，等于$f(0,0)$，故连续。
公式：$\lim_{(x,y)\to (0,0)} xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$
提示：注意利用有界量乘以无穷小仍为无穷小。
步骤 2/8
目标：计算偏导数
由定义：$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x}=0$，同理$f_y(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：偏导数定义中，另一个变量固定为0。
步骤 3/8
目标：判断可微性
考虑增量比：$\frac{\Delta f - [f_x(0,0)\Delta x+f_y(0,0)\Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} = \frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\sin\frac{1}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$。令$\Delta x=r\cos\theta,\Delta y=r\sin\theta$，则上式化为$r\cos\theta\sin\theta\sin\frac{1}{r}$。当$r\to 0$时，$|r\cos\theta\sin\theta\sin(1/r)|\leq r\to 0$，故极限为0，因此可微。
公式：$\lim_{r\to 0^+} r\cos\theta\sin\theta\sin\frac{1}{r}=0$
提示：注意极坐标变换后，$\cos\theta\sin\theta$有界，$r\to 0$。
步骤 4/8
目标：讨论(2)中p≤0的情况
当$p\leq 0$时，取路径$y=x$，则$f(x,x)=x^{2p}\sin\frac{1}{\sqrt{2}x}$。若$p<0$，$x^{2p}\to\infty$，极限不存在；若$p=0$，$\sin(1/(\sqrt{2}x))$振荡，极限不存在。故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$不存在，函数不连续，从而不可微。
公式：$\lim_{x\to 0}x^{2p}\sin\frac{1}{\sqrt{2}x}$不存在
提示：注意$p\leq 0$时，$x^{2p}$无界或振荡。
步骤 5/8
目标：讨论(2)中p>0时的连续性和偏导数
当$p>0$时，$|(xy)^p\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})|\leq |xy|^p\to 0$，故连续。偏导数：$f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0$，同理$f_y(0,0)=0$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(xy)^p\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
提示：注意$p>0$时$|xy|^p\to 0$。
步骤 6/8
目标：讨论(2)中p>0时的可微性
增量比：$\frac{(\Delta x\Delta y)^p}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\sin\frac{1}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$。极坐标下化为$r^{2p-1}(\cos\theta\sin\theta)^p\sin(1/r)$。当$2p-1>0$即$p>1/2$时，$r^{2p-1}\to 0$，极限为0，可微；当$0<2p-1\leq 0$即$0
公式：$\lim_{r\to 0^+} r^{2p-1}(\cos\theta\sin\theta)^p\sin\frac{1}{r}$
提示：注意$p=1/2$时$r^{0}=1$，极限不存在。
步骤 7/8
目标：讨论(3)的连续性和偏导数
与(1)类似，$|xy\cos(1/(x^2+y^2))|\leq |xy|\to 0$，故连续。偏导数：$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\cos\frac{1}{x^2+y^2}=0$
提示：注意余弦函数有界。
步骤 8/8
目标：讨论(3)的可微性
增量比：$\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\cos\frac{1}{\Delta x^2+\Delta y^2}$。极坐标下化为$r\cos\theta\sin\theta\cos(1/r^2)$。当$r\to 0$时，$|r\cos\theta\sin\theta\cos(1/r^2)|\leq r\to 0$，故可微。
公式：$\lim_{r\to 0^+} r\cos\theta\sin\theta\cos\frac{1}{r^2}=0$
提示：注意$\cos(1/r^2)$有界。
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