下册 7.2 多元函数的可微性 第21题

\section*{解题过程：} （1）因为 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{r \rightarrow 0} r^{2} \sin \frac{1}{r^{2}}=0=f(0,0)$ ，所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续． 由于 $\displaystyle f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(\Delta x^{2}+0^{2}\right) \sin \frac{1}{\Delta x^{2}+0^{2}}-0}{\Delta x}=0$ ，所以 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 点关于 $x$ 的偏导数是存在的． 当 $(x, y) \neq(0,0)$ 时，$\displaystyle f_{x}(x, y)=2 x \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0$ 。于是 $$ f_{x}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 2 x \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. $$ 由于极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x=y}}(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(2 x \sin \frac{1}{2 x^{2}}-\frac{1}{2 x} \cos \frac{1}{2 x^{2}}\right)$ 不存在，所以 $f_{x}(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 不连续． 同理可得 $\displaystyle f_{y}(x, y)=\left\{\begin{array}{l}2 y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 不连续。 所以函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在原点 $(0,0)$ 都不连续． 但函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 可微。事实上，令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则 $$ \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r \sin \frac{1}{r^{2}}=0 . $$ 因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y=0$ ． （2－3）用与（1）相同的方法可得 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续；$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微． （4）由定义 $\displaystyle f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{2} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}}-0}{\Delta x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta y^{2} \sin \frac{1}{\Delta y^{2}}-0}{\Delta y}=0$ ． $$ \begin{aligned} & f_{x}(x, y)=2(x+y) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x(x+y)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq 0 \\ & f_{y}(x, y)=2(x+y) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 y(x+y)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq 0 \end{aligned} $$ 由于 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x=y}} f_{x}(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(4 x \sin \frac{1}{2 x^{2}}-\frac{2}{x} \cos \frac{1}{2 x^{2}}\right)$ 极限不存在，所以 $f_{x}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续． 同理可得 $f_{y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续． 令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则 于是 $$ \begin{gathered} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{r}=r^{2} \sin \frac{1}{r^{2}}(\sin \theta+\cos \theta)^{2} \\ \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{2} \sin \frac{1}{r^{2}}(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=0 \end{gathered} $$ 因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微．