下册 7.2 多元函数的可微性 第22题
📝 题目
22．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证 明 ：（1）$p>0$ 时，$f(x, y)$ 在 点 $(0,0)$ 连续；（2）$p>1$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微；（3）$p>2$ 时，$f(x, y)$ 的偏导数在点 $(0,0)$ 连续．
💡 答案解析
解题过程：
当 $p>0$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(x+y)^{p}=0,\left|\sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \leqslant 1$ ，所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ．故函数 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处连续．
当 $p>1$ 时，
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{p} \sin \frac{1}{\Delta x}-0}{\Delta x}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{(\Delta y)^{p} \sin \frac{1}{\Delta y}-0}{\Delta y}=0 \\
& f_{x}(x, y)=p(x+y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{x(x+y)^{p}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq 0 \\
& f_{y}(x, y)=p(x+y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{y(x+y)^{p}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq 0
\end{aligned}
$$
令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则
$$
\frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{r}=r^{p-1} \sin \frac{1}{r}(\sin \theta+\cos \theta)^{p}
$$
故当 $p>1$ 时
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{p-1} \sin \frac{1}{r}(\sin \theta+\cos \theta)^{p}=0
$$
故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微．
当 $p>2$ 时，由于 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{x}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{y}(x, y)=0$ ，所以 $f(x, y)$ 的偏导数在 $(0,0)$ 点连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明连续性：p>0时f在(0,0)连续
当$p>0$时，由于$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)^p=0$，且$\left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq 1$，由无穷小乘以有界量仍为无穷小，得$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$。故$f(x,y)$在$(0,0)$连续。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)^p=0,\quad \left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq 1$$
提示：注意$(x+y)^p$在$(0,0)$处极限为0需要$p>0$，且$\sin$项有界，乘积极限为0。
步骤 2/5
目标：计算一阶偏导数在(0,0)处的值
利用偏导数定义：
$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^p\sin\frac{1}{|\Delta x|}-0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(\Delta x)^{p-1}\sin\frac{1}{|\Delta x|}=0\quad(p>1)$$
同理$f_y(0,0)=0$。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$$
提示：注意$\sin$项在$\Delta x\to 0$时振荡，但$(\Delta x)^{p-1}\to 0$（$p>1$），故极限为0。
步骤 3/5
目标：计算非零点处的偏导数表达式
当$(x,y)\neq(0,0)$时，直接求偏导：
$$f_x(x,y)=p(x+y)^{p-1}\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x+y)^p\cos\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right)$$
化简得：
$$f_x(x,y)=p(x+y)^{p-1}\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x(x+y)^p}{(x^2+y^2)^{3/2}}\cos\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
同理$f_y$只需将$x$换为$y$。
公式：$$\frac{\partial}{\partial x}\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right)$$
提示：注意链式法则，分母$\sqrt{x^2+y^2}$的导数易错。
步骤 4/5
目标：证明可微性：p>1时f在(0,0)可微
令$\Delta x=r\cos\theta,\Delta y=r\sin\theta$，则$\Delta f=f(r\cos\theta,r\sin\theta)-f(0,0)=r^p(\cos\theta+\sin\theta)^p\sin\frac{1}{r}$。
考虑增量与线性近似的差：
$$\frac{\Delta f-[f_x(0,0)\Delta x+f_y(0,0)\Delta y]}{r}=\frac{r^p(\cos\theta+\sin\theta)^p\sin\frac{1}{r}}{r}=r^{p-1}(\cos\theta+\sin\theta)^p\sin\frac{1}{r}$$
当$p>1$时，$r^{p-1}\to 0$，且$(\cos\theta+\sin\theta)^p$有界，$\sin\frac{1}{r}$有界，故极限为0。因此$f$在$(0,0)$可微。
公式：$$\lim_{r\to 0^+}\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=0$$
提示：注意$r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，且$(\cos\theta+\sin\theta)^p$可能为0，但不影响有界性。
步骤 5/5
目标：证明偏导数在(0,0)连续：p>2时
需证$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y)=f_x(0,0)=0$（同理$f_y$）。
当$(x,y)\neq(0,0)$时，
$$|f_x(x,y)|\leq p|x+y|^{p-1}+\frac{|x||x+y|^p}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
利用极坐标$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，则$|x+y|=r|\cos\theta+\sin\theta|\leq \sqrt{2}r$，$|x|\leq r$，$x^2+y^2=r^2$。于是
$$|f_x|\leq p(\sqrt{2}r)^{p-1}+\frac{r\cdot(\sqrt{2}r)^p}{r^3}=p2^{(p-1)/2}r^{p-1}+2^{p/2}r^{p-2}$$
当$p>2$时，$r^{p-1}\to 0$，$r^{p-2}\to 0$，故$\lim\limits_{r\to 0}|f_x|=0$。同理$f_y$。因此偏导数在$(0,0)$连续。
公式：$$|f_x(x,y)|\leq p|x+y|^{p-1}+\frac{|x||x+y|^p}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
提示：注意放缩时需保证$|\cos\theta+\sin\theta|$有界，且$p>2$确保$r^{p-2}\to 0$。
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