下册 7.2 多元函数的可微性 第23题

\section*{解题过程：} （1）当 $p<0$ 时，由于沿 $y=0$ 趋于原点时 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2 p} \sin \frac{1}{x^{2}}$ 不存在，故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不连续，当然 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不可微． 又由于 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{2 p} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta x^{2 p-1} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}}$ 不存在，故 $f_{x}(0,0)$不存在。 同理 $f_{y}(0,0)$ 也不存在． 当 $p>0$ 时，因 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=0$ ，故 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ．所以函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续． 当 $0<2 p \leqslant 1$ 时， $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(\Delta x^{2}+0^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}+0^{2}}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x)^{2 p-1} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}}$ 不存在．故 $f_{x}(0,0)$ 不存在． 同理 $f_{y}(0,0)$ 也不存在． 当 $2 p-1>0$ 时， $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(\Delta x^{2}+0^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}+0^{2}}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x)^{2 p-1} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}}=0$ ．故 $f_{x}(0,0)$ 存在． 同理 $f_{y}(0,0)$ 存在． 当 $(x, y) \neq(0,0)$ 时，$\displaystyle f_{x}(x, y)=2 p x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-1} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-2 x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-2} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ ． 于是当 $2 p-1>0$ 时， $$ \begin{aligned} & f_{x}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 2 p x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-1} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-2 x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-2} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. \\ & f_{y}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 2 p y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-1} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-2 y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-2} \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. \end{aligned} $$ 当 $1<2 p \leqslant 3$ 时， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{x}(x, y), ~ \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{y}(x, y)$ 不存在．于是 $f(x, y)$ 的偏导数在点 $(0,0)$ 不连续．当 $2 p-3>0$ 时， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{x}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{y}(x, y)=0$ ，此时 $f(x, y)$ 的偏导数在 $(0,0)$ 点连续． （2）令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $$ \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{2(1-p)} \sin \theta \cos \theta $$ 当且仅当 $p<1$ 时 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}=\lim _{r \rightarrow 0^{\prime}} r^{2(1-p)} \sin \theta \cos \theta=0$ ，此时 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续． 下面考虑当 $p<1$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的可微性． $$ \begin{aligned} & \qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=0, f_{y}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=0 \text {. } \\ & \text { 令 } \Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta \text {, 则 } \\ & \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\frac{\Delta x \Delta y}{\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right]^{p+\frac{1}{2}}}=r^{1-2 p} \sin \theta \cos \theta \text {. } \end{aligned} $$ 当且仅当 $\displaystyle p<\frac{1}{2}$ 时， $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{1-2 p} \sin \theta \cos \theta=0$ 。因此当 $\displaystyle p<\frac{1}{2}$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微，其他情形， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 不可微。 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 沿方向 $l$ 的方向导数 $$ \frac{\partial f}{\partial l}=\frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\frac{\Delta x \Delta y}{\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right]^{p+\frac{1}{2}}}=r^{1-2 p} \sin \theta \cos \theta $$ 故 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\partial f}{\partial l}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{1-2 p} \cos \alpha \cdot \sin \alpha$ ．当且仅当 $\displaystyle p<\frac{1}{2}$ 时，$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 沿方向 $l$ 的方向导数存在． （3）令 $x^{2}=r \cos \theta, y^{2}=r \sin \theta$ ，则 $$ \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} r^{\beta}(\cos \theta+\sin \theta)^{\beta} \sin \frac{1}{r^{2}} $$ 当 $\beta>0$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续． $$ f_{x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2 \beta} \sin \frac{1}{x^{4}}-0}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2 \beta-1} \sin \frac{1}{x^{4}} $$ $$ f_{y}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^{2 \beta} \sin \frac{1}{y^{4}}-0}{y}=\lim _{y \rightarrow 0} y^{2 \beta-1} \sin \frac{1}{y^{4}} . $$ 当 $\displaystyle \beta>\frac{1}{2}$ 时，$f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在，且 $f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0$ ． 令 $(\Delta x)^{2}=r \cos \theta,(\Delta y)^{2}=r \sin \theta$ ，则 $$ \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=[r(\sin \theta+\cos \theta)]^{\beta-\frac{1}{2}} \sin \frac{1}{r^{2}}=0 . $$ 故当 $\displaystyle \beta>\frac{1}{2}$ 时函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微．