下册 7.2 多元函数的可微性 第24题
📝 题目
24．设函数 $\displaystyle f(x ; y, z)=\left\{\begin{array}{l}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\beta}+|z|^{\gamma}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,\end{array}\right.$ 试证明：当 $\alpha>1$, $\beta>1, \gamma>1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 可微．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $\alpha>1, \beta>1, \gamma>1$ 时，$\displaystyle f_{x}(0,0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x|^{\alpha} \sin \frac{1}{\sqrt{\Delta x^{2}}}-0}{\Delta x}=0$ ；
同理 $f_{y}(0,0,0)=0 . f_{z}(0,0,0)=0$ ．
由于
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0,0) \Delta x+f_{y}(0,0,0) \Delta y+f_{z}(0,0,0) \Delta z\right)}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r}\left[\left(|\Delta x|^{\alpha}+|\Delta y|^{\beta}+|\Delta z|^{\gamma}\right) \sin \frac{1}{r}\right]=0,
$$
故当 $\alpha>1, \beta>1, \gamma>1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 可微．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算偏导数f_x(0,0,0)
由偏导数定义：$f_x(0,0,0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x,0,0)-f(0,0,0)}{\Delta x}$。由于$f(\Delta x,0,0)=|\Delta x|^\alpha \sin\frac{1}{|\Delta x|}$，$f(0,0,0)=0$，故$f_x(0,0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|^\alpha \sin\frac{1}{|\Delta x|}}{\Delta x}$。注意$\left|\frac{|\Delta x|^\alpha \sin\frac{1}{|\Delta x|}}{\Delta x}\right| = |\Delta x|^{\alpha-1}|\sin\frac{1}{|\Delta x|}| \le |\Delta x|^{\alpha-1}$。由于$\alpha>1$，$\alpha-1>0$，故极限为0。因此$f_x(0,0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0,0)-f(0,0,0)}{\Delta x}$
提示：注意$\sin$项的有界性，利用夹逼准则求极限。
步骤 2/5
目标：计算偏导数f_y(0,0,0)和f_z(0,0,0)
同理，由对称性可得$f_y(0,0,0)=0$，$f_z(0,0,0)=0$。具体地，$f_y(0,0,0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{|\Delta y|^\beta \sin\frac{1}{|\Delta y|}}{\Delta y}=0$（因为$\beta>1$），$f_z(0,0,0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{|\Delta z|^\gamma \sin\frac{1}{|\Delta z|}}{\Delta z}=0$（因为$\gamma>1$）。
提示：注意变量对称性，但需分别验证条件$\beta>1$和$\gamma>1$。
步骤 3/5
目标：写出全微分增量表达式
设$r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$，则$f(\Delta x,\Delta y,\Delta z)-f(0,0,0)=\left(|\Delta x|^\alpha+|\Delta y|^\beta+|\Delta z|^\gamma\right)\sin\frac{1}{r}$。由于$f_x(0,0,0)=f_y(0,0,0)=f_z(0,0,0)=0$，故$\Delta f - (f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_z\Delta z) = \left(|\Delta x|^\alpha+|\Delta y|^\beta+|\Delta z|^\gamma\right)\sin\frac{1}{r}$。
公式：$\Delta f = f(\Delta x,\Delta y,\Delta z)-f(0,0,0)$
提示：注意$r$的定义，以及$\sin\frac{1}{r}$在$r\to0$时振荡，但有界。
步骤 4/5
目标：估计增量绝对值
考虑$\left|\left(|\Delta x|^\alpha+|\Delta y|^\beta+|\Delta z|^\gamma\right)\sin\frac{1}{r}\right| \le |\Delta x|^\alpha+|\Delta y|^\beta+|\Delta z|^\gamma$。由于$\alpha>1,\beta>1,\gamma>1$，当$r\to0$时，$|\Delta x|^\alpha = o(r)$，因为$|\Delta x|^\alpha / r = |\Delta x|^{\alpha-1} \cdot \frac{|\Delta x|}{r} \le |\Delta x|^{\alpha-1} \to 0$。同理$|\Delta y|^\beta=o(r)$，$|\Delta z|^\gamma=o(r)$。因此$|\Delta x|^\alpha+|\Delta y|^\beta+|\Delta z|^\gamma = o(r)$。
公式：$|\Delta x|^\alpha = o(r)$ 当 $\alpha>1$
提示：注意$\frac{|\Delta x|}{r} \le 1$，所以$|\Delta x|^\alpha / r \le |\Delta x|^{\alpha-1}$。
步骤 5/5
目标：证明可微性
由可微定义，需证$\lim_{r\to0}\frac{\Delta f - (f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_z\Delta z)}{r}=0$。由前两步，该极限绝对值$\le \lim_{r\to0}\frac{|\Delta x|^\alpha+|\Delta y|^\beta+|\Delta z|^\gamma}{r}=0$。故极限为0，因此$f$在$(0,0,0)$可微。
公式：$\lim_{r\to0}\frac{\Delta f - (f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_z\Delta z)}{r}=0$
提示：注意$\sin$项的有界性，以及$o(r)$的定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。