下册 7.2 多元函数的可微性 第25题
📝 题目
25．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\tan \frac{|x|^{\lambda}+|y|^{\delta}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 其中 $\lambda, \delta>0$ ，问对哪些 $\lambda, \delta, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$可微？
分析：欲使 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微，必须偏导数 $f_{x}(0,0) f_{y}(0,0)$ 存在．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
欲使 $\displaystyle f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\tan |\Delta x|^{\lambda-2}}{\Delta x}$ 存在，必须 $\lambda>3$ ，此时 $f_{x}(0,0)=0$ ．
欲使 $\displaystyle f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\tan |\Delta y|^{\delta-2}}{\Delta y}$ 存在，必须 $\delta>3$ ，此时 $f_{y}(0,0)=0$ ．
令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则
$$
\frac{\Delta f-\left(f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right)}{r}=\frac{1}{r} \tan \left(r^{\lambda-2}|\cos \theta|^{\lambda}+r^{\delta-2}|\sin \theta|^{\delta}\right),
$$
当且仅当 $\lambda>3, \delta>3$ 时， $\lim _{r \rightarrow 0^{+}}\left(r^{\lambda-3}|\cos \theta|^{\lambda}+r^{\delta-3}|\sin \theta|^{\delta}\right)=0$ ．因此当 $\lambda>3, \delta>3$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析可微的必要条件：偏导数存在
函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微的必要条件是偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 存在。因此先计算偏导数。
提示：可微必先有偏导数，但偏导数存在不一定可微。
步骤 2/8
目标：计算 $f_x(0,0)$ 的存在条件
由定义：
$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\tan|\Delta x|^{\lambda}}{\Delta x(\Delta x^2)}?$$
注意当 $y=0$ 时，$f(x,0)=\tan\frac{|x|^{\lambda}}{x^2}$（$x\neq0$），所以
$$f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{\tan\frac{|x|^{\lambda}}{x^2}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan|x|^{\lambda-2}}{x}.$$
由于 $\tan u\sim u$（$u\to0$），上式等价于 $\lim_{x\to0}\frac{|x|^{\lambda-2}}{x}$。该极限存在当且仅当 $\lambda-2>1$，即 $\lambda>3$，此时极限为 $0$。
公式：$$\lim_{x\to0}\frac{\tan|x|^{\lambda-2}}{x}\sim\lim_{x\to0}\frac{|x|^{\lambda-2}}{x}$$
提示：注意 $\tan u\sim u$ 在 $u\to0$ 时成立，且 $|x|^{\lambda-2}$ 在 $x\to0$ 时趋于0需 $\lambda>2$，但此处还需考虑除以 $x$ 后的奇偶性。
步骤 3/8
目标：计算 $f_y(0,0)$ 的存在条件
类似地，
$$f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to0}\frac{\tan|y|^{\delta-2}}{y}.$$
该极限存在当且仅当 $\delta>3$，此时极限为 $0$。
公式：$$\lim_{y\to0}\frac{\tan|y|^{\delta-2}}{y}\sim\lim_{y\to0}\frac{|y|^{\delta-2}}{y}$$
提示：与 $f_x$ 对称，注意 $\delta>3$ 是必要条件。
步骤 4/8
目标：可微的充分条件：全增量与线性近似的差除以距离趋于0
若 $\lambda>3,\delta>3$，则 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。可微性等价于
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0.$$
代入得
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\tan\frac{|\Delta x|^{\lambda}+|\Delta y|^{\delta}}{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}.$$
公式：$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\tan\frac{|\Delta x|^{\lambda}+|\Delta y|^{\delta}}{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$
提示：注意 $f(0,0)=0$，且偏导数为0，所以分子就是 $f(\Delta x,\Delta y)$。
步骤 5/8
目标：使用极坐标变换简化极限
令 $\Delta x=r\cos\theta,\Delta y=r\sin\theta$，则 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=r$，且
$$\frac{|\Delta x|^{\lambda}+|\Delta y|^{\delta}}{\Delta x^2+\Delta y^2}=r^{\lambda-2}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-2}|\sin\theta|^{\delta}.$$
于是极限变为
$$\lim_{r\to0^+}\frac{1}{r}\tan\left(r^{\lambda-2}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-2}|\sin\theta|^{\delta}\right).$$
公式：$$\frac{|\Delta x|^{\lambda}+|\Delta y|^{\delta}}{\Delta x^2+\Delta y^2}=r^{\lambda-2}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-2}|\sin\theta|^{\delta}$$
提示：注意 $r>0$，$\theta$ 任意。$|\cos\theta|,|\sin\theta|$ 有界。
步骤 6/8
目标：利用等价无穷小化简极限
当 $r\to0^+$ 时，$r^{\lambda-2}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-2}|\sin\theta|^{\delta}\to0$（因为 $\lambda>3,\delta>3$ 时指数为正），所以 $\tan u\sim u$。于是极限等价于
$$\lim_{r\to0^+}\frac{1}{r}\left(r^{\lambda-2}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-2}|\sin\theta|^{\delta}\right)=\lim_{r\to0^+}\left(r^{\lambda-3}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-3}|\sin\theta|^{\delta}\right).$$
公式：$$\tan u\sim u\quad(u\to0)$$
提示：必须确保 $u\to0$，即 $r^{\lambda-2},r^{\delta-2}\to0$，这要求 $\lambda>2,\delta>2$，但后面还需更强条件。
步骤 7/8
目标：判断极限为0的条件
由于 $|\cos\theta|,|\sin\theta|$ 有界，极限
$$\lim_{r\to0^+}\left(r^{\lambda-3}|\cos\theta|^{\lambda}+r^{\delta-3}|\sin\theta|^{\delta}\right)=0$$
当且仅当 $\lambda-3>0$ 且 $\delta-3>0$，即 $\lambda>3$ 且 $\delta>3$。此时极限对 $\theta$ 一致成立。
公式：$$\lim_{r\to0^+}r^{\alpha}=0\iff\alpha>0$$
提示：注意 $\lambda-3$ 和 $\delta-3$ 必须为正，否则若等于0，则项 $|\cos\theta|^{\lambda}$ 可能不为0，导致极限不趋于0。
步骤 8/8
目标：总结可微条件
综上所述，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微当且仅当 $\lambda>3$ 且 $\delta>3$。此时 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，且全微分存在。
提示：注意 $\lambda,\delta>3$ 是充分必要条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。