下册 7.2 多元函数的可微性 第28题
📝 题目
28．研究或证明下列问题．
（1）设 $f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\varphi(0,0)=0$ 是函
数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的充要条件是 $\varphi(0,0)=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $\varphi(0,0) \neq 0$ 时，
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)}{\Delta x} \text { 不存在. } \\
& f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)}{\Delta y} \text { 不存在. }
\end{aligned}
$$
从而函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 不可微．
当 $\varphi(0,0)=0$ 时，$\varphi=\varphi(x, y)$ 连续．
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)}{\Delta x}=0 . \\
& \begin{aligned}
f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)}{\Delta y}=0 . \\
\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y=f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y \\
=|\Delta x-\Delta y| \varphi(\Delta x, \Delta y) .
\end{aligned} \\
& \begin{aligned}
& \frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\frac{|\Delta x-\Delta y| \varphi(\Delta x, \Delta y)}{r}, \text { 其中 } r=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} . \\
&\left|\frac{|\Delta x-\Delta y| \varphi(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right| \leqslant \frac{|\Delta x|+|\Delta y|}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \cdot|\varphi(\Delta x, \Delta y)| \leqslant 2|\varphi(\Delta x, \Delta y)| \rightarrow 0, r \rightarrow 0^{+},
\end{aligned}
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{|\Delta x-\Delta y| \varphi(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=0$ ．
因而函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 可微，且 $d f(0,0)=0$ ．
（2）若 $\varphi(0,0)=0$ ，
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)}{\Delta x}=0 \\
& \begin{aligned}
f_{y}(0,0) & =\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)}{\Delta y}=0 \\
\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y & =f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y \\
& =\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \varphi(\Delta x, \Delta y) .
\end{aligned} \\
& \frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\frac{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \varphi(\Delta x, \Delta y)}{r}=\varphi(\Delta x, \Delta y), \text { 其中 } r=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} .
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{\prime}} \frac{\Delta z-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{\prime}} \varphi(\Delta x, \Delta y)=\varphi(0,0)=0$ ，因而函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 可微．
若 $\varphi(0,0) \neq 0$ ，
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x| \varphi(\Delta x, 0)}{\Delta x} \text { 不存在. } \\
& f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{|\Delta y| \varphi(0, \Delta y)}{\Delta y} \text { 不存在. }
\end{aligned}
$$
由此得函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微，矛盾．故若函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则 $\varphi(0,0)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明必要性：若f可微则φ(0,0)=0
假设$f(x,y)=|x-y|\varphi(x,y)$在$(0,0)$可微，则偏导数存在。计算$f_x(0,0)$：
$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|\varphi(\Delta x,0)}{\Delta x}.$$
若$\varphi(0,0)\neq 0$，则极限不存在（因为$|\Delta x|/\Delta x$的左右极限分别为$\pm 1$），矛盾。故$\varphi(0,0)=0$。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|\varphi(\Delta x,0)}{\Delta x}$$
提示：注意$|\Delta x|/\Delta x$在$\Delta x\to 0$时极限不存在，因此若$\varphi(0,0)\neq 0$则偏导数不存在。
步骤 2/4
目标：证明充分性：若φ(0,0)=0则f可微
设$\varphi(0,0)=0$，且$\varphi$连续。计算偏导数：
$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|\varphi(\Delta x,0)}{\Delta x}=0,$$
因为$|\Delta x|/\Delta x$有界，$\varphi(\Delta x,0)\to 0$。同理$f_y(0,0)=0$。
考虑增量：
$$\Delta f=f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)=|\Delta x-\Delta y|\varphi(\Delta x,\Delta y).$$
则
$$\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=\frac{|\Delta x-\Delta y|\varphi(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}.$$
由于$|\Delta x-\Delta y|\leq |\Delta x|+|\Delta y|\leq \sqrt{2(\Delta x^2+\Delta y^2)}$，故
$$\left|\frac{|\Delta x-\Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|\leq \sqrt{2}.$$
又$\varphi(\Delta x,\Delta y)\to 0$，所以极限为0，因此f在$(0,0)$可微，且$df(0,0)=0$。
公式：$$\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=\frac{|\Delta x-\Delta y|\varphi(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$
提示：注意利用不等式$|\Delta x-\Delta y|\leq |\Delta x|+|\Delta y|$，并估计比值的有界性。
步骤 3/4
目标：证明(2)的必要性：若f可微则φ(0,0)=0
设$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\varphi(x,y)$在$(0,0)$可微，则偏导数存在。计算$f_x(0,0)$：
$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|\varphi(\Delta x,0)}{\Delta x}.$$
若$\varphi(0,0)\neq 0$，则极限不存在，矛盾。故$\varphi(0,0)=0$。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|\varphi(\Delta x,0)}{\Delta x}$$
提示：与(1)类似，注意$|\Delta x|/\Delta x$的极限不存在。
步骤 4/4
目标：证明(2)的充分性：若φ(0,0)=0则f可微
设$\varphi(0,0)=0$，$\varphi$连续。计算偏导数：
$$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0.$$
增量：
$$\Delta f=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\varphi(\Delta x,\Delta y).$$
则
$$\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=\frac{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\varphi(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=\varphi(\Delta x,\Delta y).$$
由于$\varphi$连续且$\varphi(0,0)=0$，极限为0，故f可微，且$df(0,0)=0$。
公式：$$\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=\varphi(\Delta x,\Delta y)$$
提示：这里比值直接等于$\varphi$，因此极限就是$\varphi(0,0)=0$。
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