下册 7.2 多元函数的可微性 第29题
📝 题目
29．设 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续，证明函数 $f(x, y)=(a x+b y) \varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $d f(0,0)=\varphi(0,0)(a \Delta x+b \Delta y)$ ，其中 $a, b$ 为常数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $\varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，按偏导数定义
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a \Delta x \varphi(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=a \varphi(0,0) \\
& \begin{aligned}
f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} & =\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{b \Delta y \varphi(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=b \varphi(0,0) \\
\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y & =f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y \\
= & (a \Delta x+b \Delta y) \varphi(\Delta x, \Delta y)-a \Delta x \varphi(0,0)-b \Delta y \varphi(0,0) \\
= & (a \Delta x+b \Delta y)(\varphi(\Delta x, \Delta y)-\varphi(0,0))
\end{aligned}
\end{aligned}
$$
考察极限
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{(a \Delta x+b \Delta y)(\varphi(\Delta x, \Delta y)-\varphi(0,0))}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \text {, 其中 } r=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} \text {. }
$$
由于 $\displaystyle \quad\left|\frac{(a \Delta x+b \Delta y)(\varphi(\Delta x, \Delta y)-\varphi(0,0))}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right| \leqslant(|a|+|b|) \cdot|\varphi(\Delta x, \Delta y)-\varphi(0,0)| \rightarrow 0, r \rightarrow 0^{+}$，
所以
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta z-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{r}=\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{(a \Delta x+b \Delta y)(\varphi(\Delta x, \Delta y)-\varphi(0,0))}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=0
$$
因而函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 可微，且 $d f(0,0)=\varphi(0,0)(a \Delta x+b \Delta y)$ ，其中 $a, b$ 为常数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算偏导数 f_x(0,0) 和 f_y(0,0)
由偏导数定义：
$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a\Delta x\,\varphi(\Delta x,0)-0}{\Delta x}=a\varphi(0,0)$$
同理，
$$f_y(0,0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{b\Delta y\,\varphi(0,\Delta y)-0}{\Delta y}=b\varphi(0,0)$$
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$$
提示：注意利用连续性：$\lim_{\Delta x\to 0}\varphi(\Delta x,0)=\varphi(0,0)$
步骤 2/6
目标：计算全增量与线性近似的差
计算全增量减去线性近似：
$$\Delta f - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y = f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-a\varphi(0,0)\Delta x - b\varphi(0,0)\Delta y$$
代入 $f(\Delta x,\Delta y)=(a\Delta x+b\Delta y)\varphi(\Delta x,\Delta y)$ 和 $f(0,0)=0$，得：
$$= (a\Delta x+b\Delta y)\varphi(\Delta x,\Delta y) - a\varphi(0,0)\Delta x - b\varphi(0,0)\Delta y$$
整理为：
$$= (a\Delta x+b\Delta y)(\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0))$$
公式：$$\Delta f = f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)$$
提示：注意 $f(0,0)=0$，因为 $(a\cdot0+b\cdot0)\varphi(0,0)=0$
步骤 3/6
目标：构造可微性极限表达式
要证明 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，需验证：
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta f - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$$
代入上一步结果，即需证：
$$\lim_{r\to 0^+}\frac{(a\Delta x+b\Delta y)(\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0))}{r}=0$$
其中 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$。
公式：$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta f - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$$
提示：可微定义中分母为 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，不是 $\Delta x$ 或 $\Delta y$ 单独
步骤 4/6
目标：利用连续性估计分子绝对值
对分子绝对值进行放缩：
$$\left|\frac{(a\Delta x+b\Delta y)(\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0))}{r}\right| \le \frac{(|a|+|b|)r \cdot |\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0)|}{r} = (|a|+|b|)|\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0)|$$
这里用到了 $|a\Delta x+b\Delta y| \le (|a|+|b|)r$。
公式：$$|a\Delta x+b\Delta y| \le (|a|+|b|)\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$
提示：注意绝对值不等式：$|a\Delta x+b\Delta y| \le |a||\Delta x|+|b||\Delta y| \le (|a|+|b|)r$
步骤 5/6
目标：利用连续性取极限
由于 $\varphi(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续，有：
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \varphi(\Delta x,\Delta y) = \varphi(0,0)$$
因此 $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} |\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0)| = 0$。
于是：
$$\lim_{r\to 0^+} (|a|+|b|)|\varphi(\Delta x,\Delta y)-\varphi(0,0)| = 0$$
由夹逼定理，原极限为0。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\varphi(x,y)=\varphi(0,0)$$
提示：连续性保证 $\varphi$ 在 $(0,0)$ 附近任意小
步骤 6/6
目标：得出结论：可微且全微分表达式
由极限为0，根据可微定义，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且全微分为：
$$df(0,0) = f_x(0,0)\Delta x + f_y(0,0)\Delta y = a\varphi(0,0)\Delta x + b\varphi(0,0)\Delta y = \varphi(0,0)(a\Delta x + b\Delta y)$$
公式：$$df(0,0)=f_x(0,0)\Delta x+f_y(0,0)\Delta y$$
提示：全微分公式中 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是自变量增量，通常也写作 $dx, dy$
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