下册 7.2 多元函数的可微性 第33题

解题过程： （1）由题设，$\exists a>0$ ，当 $r \geqslant a$ 时，$x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}>0$ 。令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, \vec{e}=\{\cos \theta, \sin \theta\}$ ，则 $$ \frac{\partial f}{\partial \vec{e}}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta=\frac{1}{r}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right)>0 . $$ 设 $M_{0}$ 是圆 $r=a$ 上一点，$L$ 是过点 $O$ 和点 $M_{0}$ 的射线，则当 $M \in L$ ，且 $O M>O M_{0}$ 时有 $f(M)>f\left(M_{0}\right)$ 。因此当 $r \geqslant a$ 时，$f(x, y)$ 在 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 上取得最小值。又 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上有最小值，则该最小值也是 $f(x, y)$ 在全平面上的最小值． （2）由于 $z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，故必存在最大最小值．因此只需证：$D$ 内任意点不可能是极值点。由二元函数极值的充分条件知，只需证：在 $D$ 内恒有 $f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}<0$ ． 事实上，由已知条件得 $f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}=-f_{x x}^{2}-f_{x y}^{2}<0$ ，于是 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 的内部无极值，但有界闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，所以 $z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $D$ 的边界上取得。 （3）若 $f(x, y)=c$ 是一条直线，则斜率 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=k$ ，（ $k$ 为一常数），于是 $f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ． 反过来，由于 $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(-\frac{f_{x}}{f_{y}}\right)=-\frac{1}{f_{y}^{2}}\left[\left(f_{x x}+f_{x y} y_{x}\right) f_{y}-\left(f_{y x}+f_{y y} y_{x}\right) f_{x}\right] \\ & =-\frac{1}{f_{y}^{2}}\left(f_{x x} f_{y}-f_{x y} f_{x}-f_{y x} f_{x}+f_{y y} \frac{f_{x}}{f_{y}} f_{x}\right)=-\frac{1}{f_{y}^{3}}\left(f_{x x} f_{y}^{2}-2 f_{x y} f_{x} f_{y}+f_{y y} f_{x}^{2}\right)=0 . \end{aligned} $$ 所以斜率 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=k$ ，从而 $f(x, y)=c$ 是一条直线．