下册 7.2 多元函数的可微性 第34题
📝 题目
34．判断题．
（1）若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 都是连续的，则 $f(x, y)$ 对 $(x, y) \in D$ 为二元连续．
💡 答案解析
答：错误．如 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, x y \neq 0, \\ 0, x y=0 .\end{array}\right.$ 在原点处 $f(x, y)$ 不连续，但 $f(x, y)$ 在原点处对 $x$ 和 $y$ 都是连续的。
（2）若函数 $f(x, y)$ 沿着任何过原点的直线连续，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续．（吉林大学 2006）答：错误。反例见7．1节题2。
（3）若 $f(x, y)$ 在 $D$ 内关于 $x, y$ 的偏导数存在，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续．（浙江师大 2012 ，上海交大 2003 ，重庆大学 2003 ，北京大学 2005 ，东南大学 2007 ，福建师大 2004 ，西安电子科技 2012，掀江理工 2012）
答：错误．反例见题 15 ．
（4）若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处关于 $x, y$ 的偏导数存在，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续．（吉林大学 2007）
答：错误。见（3）反例。
（5）若多元函数在某点不连续，则在该点一定不存在偏导数．（西安电子 2008）
答：错误。见（3）反例。
（6）若 $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个偏导数存在，则 $f(x, y)$ 在 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微．（太原理工 2008，深圳大学 2012／2013）
答：错误．见（3）反例．
（7）设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的导数都存在，则函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．（华东师大2005）
答：错误。反例见题 14 。
（8）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的所有方向导数都存在，则函数 $z=f(x, y)$ 在该点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．（上海财经 2014，折江理工 2011）
答：错误．见（7）反例．
（9）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处不可微，则函数 $z=f(x, y)$ 在该点的所有方向导数不可能都存在．（东南大学 2008）
答：错误。见（7）反例。
（10）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二阶偏导数 $f_{x y}(x, y), f_{y x}(x, y)$ 都存在，则 $f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y)$ ．（华东师 大 2013）
答：错误。反例见题 9 。
（11）设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y) =f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．（华东师大2008）
答：错误。见（3）反例。
（12）若 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)$ 存在．（南昌大学 2008，沈阳工大 2010）
答：错误。 $\displaystyle f(x, y)=x \sin \frac{1}{y}$ 。在原点， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 不存在。
（13）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)$ 与 $\lim _{y \rightarrow y_{0}} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 均不存在，则 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)$ 不存在．（南昌大学 2010）
答：错误．$\displaystyle f(x, y)=x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}$ ．在原点， $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 与 $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 均不存在，但 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在．
（14）若二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在二重极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)$ ，则两个累次极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)$ 与 $\lim _{y \rightarrow y_{0}} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 也必存在．（浙江理工 2013）
答：错误。 $\displaystyle f(x, y)=x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}$ ．在原点， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 与 $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$均不存在。
（15）若二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)$ 与累次极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)$ 都存在且相等，则累次极限 $\lim _{y \rightarrow v_{0}} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 存在且与重极限相等。（陕西师大 1998）
答：错误。 $\displaystyle f(x, y)=y \sin \frac{1}{x}$ ．在原点， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 不存在．
（16）若 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 与 $\lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)$ 均存在．（上海交大 2001）
答：错误．$\displaystyle f(x, y)=y \sin \frac{1}{x}$ ．在原点， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 不存在．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目要求
题目要求判断一系列关于多元函数连续性、偏导数、方向导数、可微性、累次极限等概念的命题是否正确。每个小题都需要给出判断并解释，通常通过反例说明。
提示：注意区分二元连续与对单个变量连续的区别；偏导数存在不能推出连续；方向导数存在不能推出可微；累次极限与重极限的关系复杂。
步骤 2/7
目标：分析第(1)小题
命题：若 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 都是连续的，则 $f(x,y)$ 对 $(x,y) \in D$ 为二元连续。
反例：$f(x,y)=\begin{cases}1, & xy \neq 0 \\ 0, & xy=0\end{cases}$。在原点处，对固定 $y=0$，$f(x,0)=0$ 连续；对固定 $x=0$，$f(0,y)=0$ 连续。但沿路径 $y=x$ 趋于原点时，$f(x,x)=1$，而 $f(0,0)=0$，故不连续。所以命题错误。
提示：注意：对每个变量单独连续不能推出二元连续。
步骤 3/7
目标：分析第(2)小题
命题：若 $f(x,y)$ 沿着任何过原点的直线连续，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续。
反例：见7.1节题2（通常为 $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ 在原点沿直线连续但沿抛物线不连续）。所以命题错误。
提示：沿所有直线连续不能推出全面连续，需考虑曲线路径。
步骤 4/7
目标：分析第(3)至(6)小题
这些命题均涉及偏导数存在与连续、可微的关系。
(3) 偏导数存在不能推出连续，反例：$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (0,0)\end{cases}$，偏导存在但不连续。
(4) 同(3)。
(5) 不连续时偏导可能存在，同(3)。
(6) 偏导存在不能推出可微，同(3)。所以均错误。
提示：偏导数存在是比连续更弱的条件；可微要求偏导连续或更强的条件。
步骤 5/7
目标：分析第(7)至(9)小题
涉及方向导数与连续、可微的关系。
(7) 所有方向导数存在不能推出连续，反例：$f(x,y)=\begin{cases}1, & y=x^2, x\neq0 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$ 在原点沿任何方向导数均为0，但不连续。
(8) 同(7)。
(9) 不可微时方向导数仍可能存在，同(7)。所以均错误。
提示：方向导数存在是比偏导存在更强的条件，但仍不能保证连续或可微。
步骤 6/7
目标：分析第(10)小题
命题：若二阶混合偏导 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 都存在，则它们相等。
反例：$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (0,0)\end{cases}$，在原点 $f_{xy}(0,0)=1$，$f_{yx}(0,0)=-1$，不相等。所以错误。
提示：混合偏导相等需要连续条件，仅存在不能保证相等。
步骤 7/7
目标：分析第(11)至(16)小题
涉及累次极限与重极限的关系。
(11) 两个累次极限相等且等于函数值不能推出连续，反例同(3)。
(12) 重极限存在不能推出累次极限存在，反例：$f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}$，重极限为0，但 $\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)$ 不存在。
(13) 两个累次极限均不存在时重极限仍可能存在，反例：$f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}$，重极限为0，但累次极限均不存在。
(14) 重极限存在不能推出累次极限存在，同(13)。
(15) 重极限与一个累次极限存在且相等不能推出另一个累次极限存在，反例：$f(x,y)=y\sin\frac{1}{x}$，重极限为0，$\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)=0$，但 $\lim_{x\to0}f(x,y)$ 不存在。
(16) 重极限存在不能推出单变量极限存在，同(15)。所以均错误。
提示：累次极限与重极限的关系复杂，重极限存在是更强的条件，但累次极限可能不存在或不等。
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