下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第6题
📝 题目
6．证明下列结论．
（1）设 $u=v(x, y)$ 有连续一阶偏导数，$u(x, y)=x v+y \varphi(v)+\psi(v)$ ，其中 $\varphi, \psi$ 可微，且 $x+y \varphi^{\prime}(v)+\psi^{\prime}(v)=0$ 。证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
（2）设函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 二次可微，证明：函数 $u(t, x)=\varphi(x-a t)+\psi(x+a t)$ 满足弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$u_{x}=v+x v_{x}+y \varphi^{\prime}(v) v_{x}+\psi^{\prime}(v) v_{x}=v, u_{x x}=v_{x}, u_{x y}=v_{y}$ ．
$u_{y}=x v_{y}+\varphi(v)+y \varphi^{\prime}(v) v_{y}+\psi^{\prime}(v) v_{y}=\varphi(v), u_{y y}=\varphi^{\prime}(v) v_{y}, u_{y x}=\varphi^{\prime}(v) v_{x}$.
于是 $\displaystyle \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=v_{x} \varphi^{\prime}(v) v_{y}-u_{x y} \cdot u_{y x}=v_{x} \varphi^{\prime}(v) v_{y}-v_{y} \varphi^{\prime}(v) v_{x}=0$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\varphi^{\prime}(x-a t)+\psi^{\prime}(x+a t), \frac{\partial u}{\partial t}=-a \varphi^{\prime}(x-a t)+a \psi^{\prime}(x+a t)$ ．
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\varphi^{\prime \prime}(x-a t)+\psi^{\prime \prime}(x+a t), \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \varphi^{\prime \prime}(x-a t)+a^{2} \psi^{\prime \prime}(x+a t)
$$
所以 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算一阶偏导数 u_x 和 u_y
由 $u = x v + y \varphi(v) + \psi(v)$，其中 $v = v(x,y)$，对 $x$ 求偏导：
$$u_x = v + x v_x + y \varphi'(v) v_x + \psi'(v) v_x = v + (x + y \varphi'(v) + \psi'(v)) v_x.$$
利用条件 $x + y \varphi'(v) + \psi'(v) = 0$，得 $u_x = v$。
对 $y$ 求偏导：
$$u_y = x v_y + \varphi(v) + y \varphi'(v) v_y + \psi'(v) v_y = \varphi(v) + (x + y \varphi'(v) + \psi'(v)) v_y = \varphi(v).$$
公式：u_x = v, u_y = \varphi(v)
提示：注意利用条件消去含 v_x 和 v_y 的项，避免遗漏链式法则中的项。
步骤 2/6
目标：计算二阶偏导数 u_xx, u_yy, u_xy
由 $u_x = v$，对 $x$ 求偏导：$u_{xx} = v_x$。
由 $u_x = v$，对 $y$ 求偏导：$u_{xy} = v_y$。
由 $u_y = \varphi(v)$，对 $y$ 求偏导：$u_{yy} = \varphi'(v) v_y$。
由 $u_y = \varphi(v)$，对 $x$ 求偏导：$u_{yx} = \varphi'(v) v_x$。
公式：u_{xx}=v_x, u_{yy}=\varphi'(v)v_y, u_{xy}=v_y, u_{yx}=\varphi'(v)v_x
提示：注意混合偏导的顺序不影响结果，但需分别计算验证。
步骤 3/6
目标：计算目标表达式并化简
目标表达式为 $u_{xx} u_{yy} - (u_{xy})^2$。代入得：
$$u_{xx} u_{yy} - (u_{xy})^2 = v_x \cdot \varphi'(v) v_y - (v_y)^2.$$
但注意 $u_{xy} = v_y$，而 $u_{yx} = \varphi'(v) v_x$，由于混合偏导相等，有 $v_y = \varphi'(v) v_x$？实际上 $u_{xy}=u_{yx}$ 给出 $v_y = \varphi'(v) v_x$。代入上式：
$$v_x \cdot \varphi'(v) v_y - (v_y)^2 = v_x \cdot \varphi'(v) (\varphi'(v) v_x) - (\varphi'(v) v_x)^2 = (\varphi'(v))^2 v_x^2 - (\varphi'(v))^2 v_x^2 = 0.$$
公式：u_{xx} u_{yy} - (u_{xy})^2 = 0
提示：注意利用混合偏导相等的关系 $u_{xy}=u_{yx}$ 来化简，否则直接代入会得到错误结果。
步骤 4/6
目标：计算一阶偏导数 u_t 和 u_x
设 $u(t,x) = \varphi(x-at) + \psi(x+at)$。对 $t$ 求偏导：
$$u_t = \varphi'(x-at) \cdot (-a) + \psi'(x+at) \cdot a = -a \varphi'(x-at) + a \psi'(x+at).$$
对 $x$ 求偏导：
$$u_x = \varphi'(x-at) \cdot 1 + \psi'(x+at) \cdot 1 = \varphi'(x-at) + \psi'(x+at).$$
公式：u_t = -a\varphi'(x-at)+a\psi'(x+at), u_x = \varphi'(x-at)+\psi'(x+at)
提示：注意链式法则，对 $t$ 求导时 $x-at$ 的导数为 $-a$，$x+at$ 的导数为 $a$。
步骤 5/6
目标：计算二阶偏导数 u_tt 和 u_xx
对 $u_t$ 再对 $t$ 求偏导：
$$u_{tt} = -a \cdot \varphi''(x-at) \cdot (-a) + a \cdot \psi''(x+at) \cdot a = a^2 \varphi''(x-at) + a^2 \psi''(x+at).$$
对 $u_x$ 再对 $x$ 求偏导：
$$u_{xx} = \varphi''(x-at) + \psi''(x+at).$$
公式：u_{tt}=a^2(\varphi''+\psi''), u_{xx}=\varphi''+\psi''
提示：注意二阶导数的链式法则，不要遗漏系数。
步骤 6/6
目标：验证弦振动方程
比较 $u_{tt}$ 和 $a^2 u_{xx}$：
$$u_{tt} = a^2 \varphi''(x-at) + a^2 \psi''(x+at) = a^2 (\varphi''(x-at) + \psi''(x+at)) = a^2 u_{xx}.$$
因此 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，满足弦振动方程。
公式：\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
提示：验证时注意等式两边是否完全相等，不要遗漏因子。
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