下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第8题
📝 题目
8．证明下列结论．
（1）设 $z=z(x, y)$ 由方程 $F(x-z, y-z)=0$ 所确定的隐函数，其中 $F$ 具有连续二阶偏导数，证明：$z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）设函数 $F(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，求证：由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 所确定的隐函数 $z=z(x, y)$ 满足下列两个方程：$\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F_{1}, F_{2}$ 分别表示 $F$ 对第一个变量 $x-z$ 与第二变量 $y-z$ 的偏导数。
在方程 $F(x-z, y-z)=0$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
\left(1-z_{x}\right) F_{1}-z_{x} F_{2}=0,-z_{y} F_{1}+\left(1-z_{y}\right) F_{2}=0
$$
解之得 $\displaystyle z_{x}=\frac{F_{1}}{F_{1}+F_{2}}, z_{y}=\frac{F_{2}}{F_{1}+F_{2}}$ ．于是
$$
z_{x}+z_{y}=1
$$
将上述方程两边分别对 $x, y$ 求导得 $z_{x x}+z_{y x}=0, z_{x y}+z_{y y}=0$ ．于是 $z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）令 $F_{1}, F_{2}$ 分别表示 $F$ 对第一个变量 $\displaystyle \frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}$ 与第二变量 $\displaystyle \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}$ 的偏导数．
方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
\frac{z-z_{0}-\left(x-x_{0}\right) z_{x}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}} F_{1}-\frac{\left(y-y_{0}\right) z_{x}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}} F_{2}=0 ;-\frac{\left(x-x_{0}\right) z_{y}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}} F_{1}+\frac{z-z_{0}-\left(y-y_{0}\right) z_{y}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}} F_{2}=0
$$
消去 $F_{1}, F_{2}$ 得 $\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ ，即 $z=z(x, y)$ 满足方程：
$$
\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}
$$
将上述方程两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
\frac{\partial z}{\partial x}+\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x},\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial z}{\partial y}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial z}{\partial y} .
$$
所以 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ，即 $z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：引入偏导数记号并求一阶偏导
令 $F_1, F_2$ 分别表示 $F$ 对第一个变量 $x-z$ 与第二个变量 $y-z$ 的偏导数。在方程 $F(x-z, y-z)=0$ 两边分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导，利用链式法则得：
对 $x$ 求导：$F_1 \cdot (1 - z_x) + F_2 \cdot (-z_x) = 0$，即 $(1 - z_x)F_1 - z_x F_2 = 0$。
对 $y$ 求导：$F_1 \cdot (-z_y) + F_2 \cdot (1 - z_y) = 0$，即 $-z_y F_1 + (1 - z_y)F_2 = 0$。
公式：链式法则：$\frac{\partial}{\partial x} F(u,v) = F_u u_x + F_v v_x$
提示：注意 $x-z$ 对 $x$ 的导数为 $1 - z_x$，$y-z$ 对 $x$ 的导数为 $-z_x$。
步骤 2/9
目标：解出 $z_x$ 和 $z_y$
由方程组
\[
\begin{cases}
(1 - z_x)F_1 - z_x F_2 = 0 \\
-z_y F_1 + (1 - z_y)F_2 = 0
\end{cases}
\]
解得 $z_x = \frac{F_1}{F_1 + F_2}$，$z_y = \frac{F_2}{F_1 + F_2}$。
提示：假设 $F_1 + F_2 \neq 0$，否则隐函数定理条件不满足。
步骤 3/9
目标：得到 $z_x + z_y = 1$
将 $z_x$ 和 $z_y$ 相加得 $z_x + z_y = \frac{F_1}{F_1+F_2} + \frac{F_2}{F_1+F_2} = 1$。
提示：此式是后续推导的关键。
步骤 4/9
目标：对 $z_x + z_y = 1$ 求导得到二阶偏导关系
将 $z_x + z_y = 1$ 两边对 $x$ 求偏导：$z_{xx} + z_{yx} = 0$。
将 $z_x + z_y = 1$ 两边对 $y$ 求偏导：$z_{xy} + z_{yy} = 0$。
提示：注意 $z_{yx} = z_{xy}$（混合偏导连续时相等）。
步骤 5/9
目标：证明 $z_{xx} + 2z_{xy} + z_{yy} = 0$
将两个等式相加：$(z_{xx} + z_{yx}) + (z_{xy} + z_{yy}) = 0$，即 $z_{xx} + 2z_{xy} + z_{yy} = 0$。
提示：利用 $z_{yx} = z_{xy}$ 合并项。
步骤 6/9
目标：引入新变量并求一阶偏导（第二问）
令 $F_1, F_2$ 分别表示 $F$ 对第一个变量 $\frac{x-x_0}{z-z_0}$ 与第二个变量 $\frac{y-y_0}{z-z_0}$ 的偏导数。方程 $F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0}, \frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0$ 两边分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
对 $x$：$F_1 \cdot \frac{(z-z_0) - (x-x_0)z_x}{(z-z_0)^2} + F_2 \cdot \frac{-(y-y_0)z_x}{(z-z_0)^2} = 0$。
对 $y$：$F_1 \cdot \frac{-(x-x_0)z_y}{(z-z_0)^2} + F_2 \cdot \frac{(z-z_0) - (y-y_0)z_y}{(z-z_0)^2} = 0$。
公式：链式法则及商的导数：$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x-x_0}{z-z_0}\right) = \frac{(z-z_0) - (x-x_0)z_x}{(z-z_0)^2}$
提示：注意分母 $z-z_0$ 也是 $x,y$ 的函数，求导时需用商法则。
步骤 7/9
目标：消去 $F_1, F_2$ 得到第一个方程
将两个方程分别乘以 $(z-z_0)^2$ 并整理得：
\[
\begin{cases}
[(z-z_0) - (x-x_0)z_x]F_1 - (y-y_0)z_x F_2 = 0 \\
-(x-x_0)z_y F_1 + [(z-z_0) - (y-y_0)z_y]F_2 = 0
\end{cases}
\]
视 $F_1, F_2$ 为未知数，方程组有非零解，故系数行列式为零：
\[
\begin{vmatrix}
(z-z_0) - (x-x_0)z_x & -(y-y_0)z_x \\
-(x-x_0)z_y & (z-z_0) - (y-y_0)z_y
\end{vmatrix} = 0
\]
展开得 $[(z-z_0) - (x-x_0)z_x][(z-z_0) - (y-y_0)z_y] - (x-x_0)(y-y_0)z_x z_y = 0$，化简得 $(z-z_0)^2 - (z-z_0)[(x-x_0)z_x + (y-y_0)z_y] = 0$，即 $(x-x_0)z_x + (y-y_0)z_y = z - z_0$。
公式：齐次线性方程组有非零解的条件：系数行列式为零
提示：化简时注意合并同类项，并假设 $z \neq z_0$。
步骤 8/9
目标：对第一个方程求导得到二阶偏导关系
将 $(x-x_0)z_x + (y-y_0)z_y = z - z_0$ 两边对 $x$ 求偏导：
$z_x + (x-x_0)z_{xx} + (y-y_0)z_{yx} = z_x$，化简得 $(x-x_0)z_{xx} + (y-y_0)z_{xy} = 0$。
对 $y$ 求偏导：
$(x-x_0)z_{xy} + z_y + (y-y_0)z_{yy} = z_y$，化简得 $(x-x_0)z_{xy} + (y-y_0)z_{yy} = 0$。
提示：注意 $z_x$ 和 $z_y$ 是函数，求导时要用乘积法则。
步骤 9/9
目标：证明第二个方程
由 $(x-x_0)z_{xx} + (y-y_0)z_{xy} = 0$ 和 $(x-x_0)z_{xy} + (y-y_0)z_{yy} = 0$，视 $z_{xx}, z_{xy}, z_{yy}$ 为未知数，但这两个方程不足以直接得到结论。实际上，将第一个方程乘以 $z_{yy}$，第二个方程乘以 $z_{xx}$，相减并利用 $z_{xy}$ 的对称性可得 $z_{xx}z_{yy} - z_{xy}^2 = 0$。更直接地，由两个方程消去 $(x-x_0)$ 和 $(y-y_0)$ 可得 $z_{xx}z_{yy} = z_{xy}^2$。具体地，若 $z_{xx} \neq 0$，则从第一个方程得 $(x-x_0) = -\frac{(y-y_0)z_{xy}}{z_{xx}}$，代入第二个方程得 $-\frac{(y-y_0)z_{xy}^2}{z_{xx}} + (y-y_0)z_{yy} = 0$，即 $z_{xx}z_{yy} = z_{xy}^2$。类似可处理其他情况。因此 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2 = 0$。
提示：注意 $z$ 的二阶偏导连续，混合偏导相等。需考虑 $z_{xx}=0$ 等特殊情况，但结论仍成立。
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