下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第12题
📝 题目
12．设 $z=z(x, y)$ 二阶连续可微，对微分方程 $\displaystyle \frac{1}{(x+y)^{2}}\left(z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}\right)-\frac{1}{(x+y)^{3}}\left(z_{x}+z_{y}\right)=0$ 作变量代换 $u=x y, v=x-y$ 。（1）求代换后的方程；（2）指出变量代换失效的点集，并指出失效的理由，代换在失效点集上会产生什么现象。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
& z_{x}+z_{y}=(x+y) z_{u} . \\
& z_{x}=z_{u} u_{x}+z_{v} v_{x}=y z_{u}+z_{v}, z_{y}=z_{u} u_{y}+z_{v} v_{y}=x z_{u}-z_{v} . \\
& z_{x x}=\left(y z_{u}\right)_{x}+\left(z_{v}\right)_{x}=y\left(z_{u u} u_{x}+z_{u v} v_{x}\right)+\left(z_{v u} u_{x}+z_{v v} v_{x}\right)=y^{2} z_{u u}+2 y z_{u v}+z_{v v} . \\
& z_{y y}=\left(x z_{u}\right)_{y}-\left(z_{v}\right)_{y}=x\left(z_{u u} u_{y}+z_{u v} v_{y}\right)-\left(z_{v u} u_{y}+z_{v v} v_{y}\right)=x^{2} z_{u u}-2 x z_{u v}+z_{v v} . \\
& z_{y x}=\left(x z_{u}\right)_{x}-\left(z_{v}\right)_{x}=z_{u}+x\left(z_{u u} u_{x}+z_{u v} v_{x}\right)-\left(z_{v u} u_{x}+z_{v v} v_{x}\right)=z_{u}+x y z_{u u}+(x-y) z_{u v}-z_{v v} . \\
& z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=y^{2} z_{u u}+2 y z_{u v}+z_{v v}+2 z_{u}+2 x y z_{u u}+2(x-y) z_{u v}-2 z_{v v}+x^{2} z_{u u}-2 x z_{u v}+z_{v v} \\
& \quad=y^{2} z_{u u}+2 x y z_{u u}+x^{2} z_{u u}+2 z_{u}=(x+y)^{2} z_{u u}+2 z_{u} .
\end{aligned}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{(x+y)^{2}}\left(z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}\right)-\frac{1}{(x+y)^{3}}\left(z_{x}+z_{y}\right) \\
& =\frac{1}{(x+y)^{2}}\left[(x+y)^{2} z_{u u}+2 z_{u}\right]-\frac{1}{(x+y)^{3}}(x+y) z_{u}=z_{u u}+\frac{1}{(x+y)^{2}} z_{u}
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle z_{u u}+\frac{1}{(x+y)^{2}} z_{u}=0$ ．
由 $u=x y, v=x-y$ 得 $(x+y)^{2}=(x-y)^{2}+4 x y=4 u+v^{2}$ ，于是
$$
z_{u u}+\frac{1}{4 u+v^{2}} z_{u}=0
$$
因 $\displaystyle \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=-(x+y)$ ，变量代换在 $x+y=0$ 上失效，因为在 $x+y=0$ 上，Jacobian 为 0 ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算一阶偏导数
设 $u=xy$, $v=x-y$，则 $z_x = z_u u_x + z_v v_x = y z_u + z_v$，$z_y = z_u u_y + z_v v_y = x z_u - z_v$。
公式：$z_x = y z_u + z_v$, $z_y = x z_u - z_v$
提示：注意链式法则中偏导数的顺序，$u_x = y$, $v_x = 1$, $u_y = x$, $v_y = -1$。
步骤 2/7
目标：计算二阶偏导数
计算 $z_{xx}$：$z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(y z_u + z_v) = y(z_{uu} u_x + z_{uv} v_x) + (z_{vu} u_x + z_{vv} v_x) = y^2 z_{uu} + 2y z_{uv} + z_{vv}$。
计算 $z_{yy}$：$z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(x z_u - z_v) = x(z_{uu} u_y + z_{uv} v_y) - (z_{vu} u_y + z_{vv} v_y) = x^2 z_{uu} - 2x z_{uv} + z_{vv}$。
计算 $z_{xy}$：$z_{xy} = \frac{\partial}{\partial x}(x z_u - z_v) = z_u + x(z_{uu} u_x + z_{uv} v_x) - (z_{vu} u_x + z_{vv} v_x) = z_u + xy z_{uu} + (x-y) z_{uv} - z_{vv}$。
公式：$z_{xx}=y^2 z_{uu}+2y z_{uv}+z_{vv}$, $z_{yy}=x^2 z_{uu}-2x z_{uv}+z_{vv}$, $z_{xy}=z_u+xy z_{uu}+(x-y)z_{uv}-z_{vv}$
提示：注意混合偏导 $z_{xy}$ 的计算中，$z_u$ 项来自对 $x$ 求导时 $x$ 的导数。
步骤 3/7
目标：组合二阶偏导数
计算 $z_{xx}+2z_{xy}+z_{yy}$：
$z_{xx}+2z_{xy}+z_{yy} = (y^2 z_{uu}+2y z_{uv}+z_{vv}) + 2(z_u+xy z_{uu}+(x-y)z_{uv}-z_{vv}) + (x^2 z_{uu}-2x z_{uv}+z_{vv})$
合并同类项：$z_{uu}$ 项：$y^2+2xy+x^2 = (x+y)^2$；$z_{uv}$ 项：$2y+2(x-y)-2x = 0$；$z_{vv}$ 项：$1-2+1=0$；常数项：$2z_u$。
所以 $z_{xx}+2z_{xy}+z_{yy} = (x+y)^2 z_{uu} + 2z_u$。
公式：$z_{xx}+2z_{xy}+z_{yy} = (x+y)^2 z_{uu} + 2z_u$
提示：合并时注意 $z_{uv}$ 和 $z_{vv}$ 的系数应为零，否则计算有误。
步骤 4/7
目标：计算一阶偏导数的组合
计算 $z_x+z_y$：$z_x+z_y = (y z_u+z_v) + (x z_u - z_v) = (x+y) z_u$。
公式：$z_x+z_y = (x+y) z_u$
提示：注意 $z_v$ 项相消。
步骤 5/7
目标：代入原方程化简
原方程为 $\frac{1}{(x+y)^2}(z_{xx}+2z_{xy}+z_{yy}) - \frac{1}{(x+y)^3}(z_x+z_y)=0$。
代入得：$\frac{1}{(x+y)^2}[(x+y)^2 z_{uu}+2z_u] - \frac{1}{(x+y)^3}(x+y)z_u = z_{uu} + \frac{2}{(x+y)^2}z_u - \frac{1}{(x+y)^2}z_u = z_{uu} + \frac{1}{(x+y)^2}z_u = 0$。
公式：$z_{uu} + \frac{1}{(x+y)^2}z_u = 0$
提示：注意 $\frac{1}{(x+y)^3}(x+y)z_u = \frac{1}{(x+y)^2}z_u$，合并时系数为 $\frac{2}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{1}{(x+y)^2}$。
步骤 6/7
目标：用 $u,v$ 表示 $(x+y)^2$
由 $u=xy$, $v=x-y$，得 $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy = v^2 + 4u$。
代入方程得：$z_{uu} + \frac{1}{4u+v^2}z_u = 0$。
公式：$z_{uu} + \frac{1}{4u+v^2}z_u = 0$
提示：注意 $4u+v^2$ 不能为零，否则分母为零。
步骤 7/7
目标：讨论变量代换失效的点集
变量代换的雅可比行列式为 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} y & x \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -y - x = -(x+y)$。
当 $x+y=0$ 时，雅可比行列式为零，代换失效。
失效原因：在 $x+y=0$ 上，$u=xy$, $v=x-y$ 不是一一对应，因为 $x+y=0$ 意味着 $y=-x$，此时 $u=-x^2$, $v=2x$，但不同的 $x$ 可能对应相同的 $u,v$？实际上，$x$ 和 $y$ 互换会得到相同的 $u$ 和 $v$ 吗？需要进一步分析。但通常雅可比为零意味着变换不是局部微分同胚，导致偏导数关系不唯一。
现象：在 $x+y=0$ 上，原方程可能退化为其他形式，或者解在该曲线上有奇性。
公式：$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = -(x+y)$
提示：注意雅可比行列式为零的点集是 $x+y=0$，即直线。
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