下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第13题
📝 题目
13．通过变量代换变换方程．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $z=z(x, y)$ 在平面 $\mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $(r \neq 0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由已知得 $x z_{x}+y z_{y}=v, v^{2}-2 z v=x^{2}+y^{2}$ ．
在 $v^{2}-2 z v=x^{2}+y^{2}$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
v v_{x}-z_{x} v-z v_{x}=x, v v_{y}-z_{y} v-z v_{y}=y
$$
即
$$
(v-z)\left(x v_{x}+y v_{y}\right)-v\left(x z_{x}+y z_{y}\right)=x^{2}+y^{2}
$$
进一步有
$$
(v-z)\left(x v_{x}+y v_{y}\right)-v^{2}=v^{2}-2 z v
$$
化简得
$$
\left(x v_{x}+y v_{y}\right)=2 v .
$$
又 $\displaystyle z_{x}=z_{u} \cdot u_{x}+z_{v} \cdot v_{x}=-\frac{y}{x^{2}} \cdot z_{u}+z_{v} v_{x}, z_{y}=z_{u} \cdot u_{y}+z_{v} \cdot v_{y}=\frac{1}{x} \cdot z_{u}+z_{v} v_{y}$ 。于是
$$
x z_{x}+y z_{y}=-\frac{y}{x} \cdot z_{u}+x \cdot z_{v} v_{x}+\frac{y}{x} \cdot z_{v}+y z_{v} v_{y}=z_{v}\left(x v_{x}+y v_{y}\right)
$$
所以 $z_{v}\left(x v_{x}+y v_{y}\right)=v$ ，结合 $\left(x v_{x}+y v_{y}\right)=2 v$ 得 $\displaystyle z_{v}=\frac{1}{2}$ ．
（2）$z_{x}=z_{\xi} \xi_{x}+z_{\eta} \eta_{x}=z_{\xi}+2 x z_{\eta}, z_{y}=z_{\xi} \xi_{y}+z_{\eta} \eta_{y}=2 y z_{\eta}$ 。于是
$$
y z_{x}-x z_{y}=y z_{\xi}+2 x y z_{\eta}-2 x y z_{\eta}=y z_{\xi} .
$$
由 $y z_{x}-x z_{y}=0$ 得 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \xi}=0$ 。解之得 $z=\varphi(\eta), \varphi$ 是可微函数，亦即 $z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（3）由 $w=\ln z-(x+y)$ 得
$$
z_{x}=z\left(w_{x}+1\right)=z\left(2 x w_{u}-\frac{1}{x^{2}} w_{v}+1\right), z_{y}=z\left(w_{y}+1\right)=z\left(2 y w_{u}-\frac{1}{y^{2}} w_{v}+1\right) .
$$
代人 $y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z$ 得
$$
z\left(2 x y w_{u}-\frac{y}{x^{2}} w_{v}+y\right)-z\left(2 x y w_{u}-\frac{x}{y^{2}} w_{v}+x\right)-z(y-x)=0 .
$$
化简后得到 $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}=0$ ．
（4）作极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}, \theta=\arctan \frac{y}{x}$ ．所以
于是
$$
\begin{gathered}
u_{x}=u_{r} r_{x}+u_{\theta} \theta_{x}=\frac{x}{r} u_{r}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} u_{\theta}=\frac{x}{r} u_{r}-\frac{x}{r^{2}} u_{\theta}, u_{y}=u_{r} r_{y}+u_{\theta} \theta_{y}=\frac{y}{r} u_{r}+\frac{y}{r^{2}} u_{\theta} . \\
x u_{y}-y u_{x}=x \frac{y}{r} u_{r}+\frac{y x}{r^{2}} u_{\theta}-y \frac{x}{r} u_{r}+\frac{x y}{r^{2}} u_{\theta}=\frac{2}{r} x y u_{\theta} .
\end{gathered}
$$
由 $x u_{y}-y u_{x}=0$ 得 $u_{\theta}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入新自变量并建立关系
设 $u=\frac{y}{x}$，$v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$。原方程为 $x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=v$。由 $v$ 的定义可得 $v^{2}-2zv=x^{2}+y^{2}$。
公式：$v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$，$v^{2}-2zv=x^{2}+y^{2}$
提示：注意 $v$ 的定义，以及平方后化简得到的关系式。
步骤 2/8
目标：对关系式求偏导并化简
对 $v^{2}-2zv=x^{2}+y^{2}$ 两边分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
$$2vv_x - 2z_x v - 2z v_x = 2x, \quad 2vv_y - 2z_y v - 2z v_y = 2y$$
整理得：
$$(v-z)v_x - v z_x = x, \quad (v-z)v_y - v z_y = y$$
分别乘以 $x$ 和 $y$ 并相加：
$$(v-z)(x v_x + y v_y) - v(x z_x + y z_y) = x^2 + y^2$$
代入 $x z_x + y z_y = v$ 和 $x^2+y^2 = v^2-2zv$ 得：
$$(v-z)(x v_x + y v_y) - v^2 = v^2 - 2zv$$
化简得：
$$x v_x + y v_y = 2v$$
公式：$(v-z)(x v_x + y v_y) - v(x z_x + y z_y) = x^2+y^2$
提示：注意求导时 $z$ 是 $x,y$ 的函数，要使用链式法则。
步骤 3/8
目标：用新自变量表示原方程
将 $z$ 视为 $u,v$ 的函数，则
$$z_x = z_u u_x + z_v v_x = -\frac{y}{x^2}z_u + z_v v_x, \quad z_y = z_u u_y + z_v v_y = \frac{1}{x}z_u + z_v v_y$$
代入 $x z_x + y z_y$：
$$x z_x + y z_y = -\frac{y}{x}z_u + x z_v v_x + \frac{y}{x}z_u + y z_v v_y = z_v (x v_x + y v_y)$$
由原方程 $x z_x + y z_y = v$ 和上一步 $x v_x + y v_y = 2v$ 得：
$$z_v \cdot 2v = v \Rightarrow z_v = \frac{1}{2}$$
公式：$x z_x + y z_y = z_v (x v_x + y v_y)$
提示：注意 $u_x$ 和 $u_y$ 的计算，以及 $z_v$ 的求解。
步骤 4/8
目标：变量代换化简方程
设 $\xi = x$，$\eta = x^2 + y^2$，则
$$z_x = z_\xi \xi_x + z_\eta \eta_x = z_\xi + 2x z_\eta, \quad z_y = z_\xi \xi_y + z_\eta \eta_y = 2y z_\eta$$
代入 $y z_x - x z_y = 0$：
$$y(z_\xi + 2x z_\eta) - x(2y z_\eta) = y z_\xi = 0$$
由于 $y \neq 0$（否则方程平凡），得 $z_\xi = 0$，即 $z$ 与 $\xi$ 无关，故 $z = \varphi(\eta)$，其中 $\varphi$ 为可微函数。
公式：$y z_x - x z_y = y z_\xi$
提示：注意 $\xi$ 和 $\eta$ 的定义，以及链式法则的正确应用。
步骤 5/8
目标：写出通解
由 $z = \varphi(\eta)$ 且 $\eta = x^2 + y^2$，得通解为 $z = \varphi(x^2 + y^2)$，其中 $\varphi$ 是任意可微函数。
公式：$z = \varphi(x^2 + y^2)$
提示：注意通解中 $\varphi$ 的任意性。
步骤 6/8
目标：建立隐函数关系
由 $u = x^2 + y^2$，$v = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$，$z = e^{w + x + y}$，得 $w = \ln z - (x+y)$。对 $x$ 求偏导：
$$w_x = \frac{z_x}{z} - 1 = 2x w_u - \frac{1}{x^2} w_v + 1 - 1 = 2x w_u - \frac{1}{x^2} w_v$$
类似地，$w_y = 2y w_u - \frac{1}{y^2} w_v$。于是
$$z_x = z(w_x + 1) = z(2x w_u - \frac{1}{x^2} w_v + 1), \quad z_y = z(2y w_u - \frac{1}{y^2} w_v + 1)$$
公式：$w = \ln z - (x+y)$，$z_x = z(w_x+1)$
提示：注意 $w$ 是 $u,v$ 的函数，求偏导时要用链式法则。
步骤 7/8
目标：代入原方程化简
将 $z_x$ 和 $z_y$ 代入 $y z_x - x z_y = (y-x)z$：
$$y z(2x w_u - \frac{1}{x^2} w_v + 1) - x z(2y w_u - \frac{1}{y^2} w_v + 1) = (y-x)z$$
两边除以 $z$（$z \neq 0$）并展开：
$$2xy w_u - \frac{y}{x^2} w_v + y - 2xy w_u + \frac{x}{y^2} w_v - x = y - x$$
化简得：
$$-\frac{y}{x^2} w_v + \frac{x}{y^2} w_v = 0 \Rightarrow \left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right) w_v = 0$$
由于 $x \neq y$，括号内不为零，故 $w_v = 0$。
公式：$y z_x - x z_y = (y-x)z$
提示：注意化简过程中 $2xy w_u$ 项抵消，以及 $x \neq y$ 的条件。
步骤 8/8
目标：极坐标变换
设 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，则 $r^2 = x^2 + y^2$，$\theta = \arctan(y/x)$。计算偏导数：
$$r_x = \frac{x}{r}, \quad r_y = \frac{y}{r}, \quad \theta_x = -\frac{y}{r^2}, \quad \theta_y = \frac{x}{r^2}$$
于是
$$u_x = u_r r_x + u_\theta \theta_x = \frac{x}{r} u_r - \frac{y}{r^2} u_\theta, \quad u_y = u_r r_y + u_\theta \theta_y = \frac{y}{r} u_r + \frac{x}{r^2} u_\theta$$
代入 $x u_y - y u_x = 0$：
$$x\left(\frac{y}{r} u_r + \frac{x}{r^2} u_\theta\right) - y\left(\frac{x}{r} u_r - \frac{y}{r^2} u_\theta\right) = \frac{x^2 + y^2}{r^2} u_\theta = u_\theta = 0$$
故 $u_\theta = 0$。
公式：$u_x = \frac{x}{r} u_r - \frac{y}{r^2} u_\theta$，$u_y = \frac{y}{r} u_r + \frac{x}{r^2} u_\theta$
提示：注意极坐标下偏导数的计算，以及 $x^2+y^2 = r^2$ 的化简。
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