下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第14题

给定代换：$x=u$, $y=\frac{u}{1+uv}$, $z=\frac{u}{1+uw}$。其中 $w=w(u,v)$ 是新函数，$u,v$ 是新自变量。原方程是 $x^2 z_x + y^2 z_y = z^2$。

利用链式法则：$z_x = z_u u_x + z_v v_x$。但 $z$ 直接表示为 $u$ 和 $w$ 的函数，且 $w$ 依赖于 $u,v$，所以 $z_x = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \left( \frac{\partial w}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \right)$。由 $x=u$ 得 $u_x=1$，$v_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)$ 但这里 $v$ 未直接给出，实际上从代换 $y=\frac{u}{1+uv}$ 可解出 $v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$，但计算 $v_x$ 较复杂。另一种方法：直接对 $z=\frac{u}{1+uw}$ 求偏导，注意 $u$ 和 $w$ 都是 $x,y$ 的函数，但 $u=x$，所以 $u_x=1$，$u_y=0$；$v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$，所以 $v_x = \frac{1}{x^2}$，$v_y = -\frac{1}{y^2}$。因此 $z_x = \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u}{1+uw}\right) \cdot 1 + \frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{u}{1+uw}\right) \cdot (w_u \cdot 1 + w_v \cdot \frac{1}{x^2})$。计算偏导数：$\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u}{1+uw}\right) = \frac{1}{(1+uw)^2}$，$\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{u}{1+uw}\right) = -\frac{u^2}{(1+uw)^2}$。所以 $z_x = \frac{1}{(1+uw)^2} + \left(-\frac{u^2}{(1+uw)^2}\right)(w_u + \frac{w_v}{x^2})$。由于 $x=u$，代入得 $z_x = \frac{1}{(1+uw)^2} - \frac{u^2}{(1+uw)^2}(w_u + \frac{w_v}{u^2}) = \frac{1}{(1+uw)^2} - \frac{u^2 w_u}{(1+uw)^2} - \frac{w_v}{(1+uw)^2} = \frac{1 - u^2 w_u - w_v}{(1+uw)^2}$。

类似地，$z_y = \frac{\partial z}{\partial u} u_y + \frac{\partial z}{\partial w} (w_u u_y + w_v v_y)$。由于 $u=x$，$u_y=0$；$v_y = -\frac{1}{y^2}$。所以 $z_y = 0 + \left(-\frac{u^2}{(1+uw)^2}\right)(0 + w_v \cdot (-\frac{1}{y^2})) = \frac{u^2}{(1+uw)^2} \cdot \frac{w_v}{y^2}$。

原方程 $x^2 z_x + y^2 z_y = z^2$。代入 $x=u$，$y=\frac{u}{1+uv}$，$z=\frac{u}{1+uw}$，以及 $z_x$ 和 $z_y$ 的表达式：$x^2 z_x = u^2 \cdot \frac{1 - u^2 w_u - w_v}{(1+uw)^2}$，$y^2 z_y = \left(\frac{u}{1+uv}\right)^2 \cdot \frac{u^2}{(1+uw)^2} \cdot \frac{w_v}{y^2} = \frac{u^2}{(1+uv)^2} \cdot \frac{u^2}{(1+uw)^2} \cdot w_v$。注意 $y^2$ 与分母中的 $y^2$ 约去？实际上 $y^2 z_y = y^2 \cdot \frac{u^2}{(1+uw)^2} \cdot \frac{w_v}{y^2} = \frac{u^2 w_v}{(1+uw)^2}$。所以左边 = $\frac{u^2 (1 - u^2 w_u - w_v)}{(1+uw)^2} + \frac{u^2 w_v}{(1+uw)^2} = \frac{u^2 (1 - u^2 w_u)}{(1+uw)^2}$。右边 = $z^2 = \left(\frac{u}{1+uw}\right)^2 = \frac{u^2}{(1+uw)^2}$。因此方程化为 $\frac{u^2 (1 - u^2 w_u)}{(1+uw)^2} = \frac{u^2}{(1+uw)^2}$，即 $1 - u^2 w_u = 1$，所以 $u^2 w_u = 0$，即 $w_u = 0$。

化简后得 $u^2 w_u = 0$，由于 $u \neq 0$（否则 $x=0$ 可能无定义），所以 $w_u = 0$。即新方程为 $w_u = 0$，表示 $w$ 与 $u$ 无关，仅是 $v$ 的函数。

第(2)问给出代换：$u=x$, $v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$, $w=\frac{1}{z}$。由 $u=x$ 得 $x=u$；由 $v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$ 得 $\frac{1}{y}=v+\frac{1}{x}=v+\frac{1}{u}$，所以 $y=\frac{1}{v+1/u}=\frac{u}{1+uv}$；由 $w=\frac{1}{z}$ 得 $z=\frac{1}{w}$，但题目中 $z$ 表达式为 $\frac{u}{1+uw}$，所以 $\frac{1}{w}=\frac{u}{1+uw}$，解得 $w=\frac{1}{z}$ 一致。因此第(2)问的代换与第(1)问完全相同，故方程变换结果相同，即 $w_u=0$。