下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第15题
📝 题目
15．通过变量代换变换方程．
（1）在极坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 下变换方程 $u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)$ ．
（2）将直角坐标系下的 Laplace 方程 $u_{x x}+u_{y y}=0$ 化为极坐标系下的形式．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$u_{r}=u_{x} x_{r}+u_{y} y_{r}=u_{x} \cos \theta+u_{y} \sin \theta, u_{\theta}=u_{x} x_{\theta}+u_{y} y_{\theta}=-r u_{x} \sin \theta+r u_{y} \cos \theta$ ．
$$
\begin{aligned}
u_{r r} & =\left(u_{x x} x_{r}+u_{x y} y_{r}\right) \cos \theta+\left(u_{y x} x_{r}+u_{y y} y_{r}\right) \sin \theta=u_{x x} \cos ^{2} \theta+2 u_{x y} \sin \theta \cos \theta+u_{y y} \sin ^{2} \theta \\
u_{\theta \theta} & =\left(-r u_{x} \sin \theta\right)_{\theta}+\left(r u_{y} \cos \theta\right)_{\theta} \\
& =-r u_{x} \cos \theta-r u_{y} \sin \theta-r\left(u_{x x} x_{\theta}+u_{x y} y_{\theta}\right) \sin \theta+r\left(u_{y x} x_{\theta}+u_{y y} y_{\theta}\right) \cos \theta \\
& =-r u_{x} \cos \theta-r u_{y} \sin \theta+r^{2}\left(u_{x x} \sin ^{2} \theta-2 u_{x y} \cos \theta \sin \theta+u_{y y} \cos ^{2} \theta\right)
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle u_{r r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}+\frac{1}{r} u_{r}=u_{x x}+u_{y y}$ ．
从而原方程化为 $\displaystyle u_{r r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}+\frac{1}{r} u_{r}=f(r \cos \theta, r \sin \theta)$ ．
（2）由（1）知 $\displaystyle u_{r r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}+\frac{1}{r} u_{r}=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立极坐标与直角坐标的导数关系
由极坐标变换 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，利用链式法则求一阶偏导：
$$u_r = u_x x_r + u_y y_r = u_x \cos\theta + u_y \sin\theta,$$
$$u_\theta = u_x x_\theta + u_y y_\theta = -r u_x \sin\theta + r u_y \cos\theta.$$
公式：链式法则：$u_r = u_x \frac{\partial x}{\partial r} + u_y \frac{\partial y}{\partial r}$
提示：注意 $x_\theta = -r\sin\theta$, $y_\theta = r\cos\theta$，不要漏掉因子 $r$。
步骤 2/6
目标：计算二阶偏导 $u_{rr}$
对 $u_r$ 再次求 $r$ 的偏导：
$$u_{rr} = \frac{\partial}{\partial r}(u_x \cos\theta + u_y \sin\theta) = (u_{xx}x_r + u_{xy}y_r)\cos\theta + (u_{yx}x_r + u_{yy}y_r)\sin\theta.$$
代入 $x_r=\cos\theta$, $y_r=\sin\theta$ 得：
$$u_{rr} = u_{xx}\cos^2\theta + 2u_{xy}\sin\theta\cos\theta + u_{yy}\sin^2\theta.$$
提示：注意混合偏导 $u_{xy}=u_{yx}$，合并同类项。
步骤 3/6
目标：计算二阶偏导 $u_{\theta\theta}$
对 $u_\theta = -r u_x \sin\theta + r u_y \cos\theta$ 求 $\theta$ 的偏导：
$$u_{\theta\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta}(-r u_x \sin\theta) + \frac{\partial}{\partial\theta}(r u_y \cos\theta).$$
分别计算：
$$\frac{\partial}{\partial\theta}(-r u_x \sin\theta) = -r u_x \cos\theta - r (u_{xx}x_\theta + u_{xy}y_\theta)\sin\theta,$$
$$\frac{\partial}{\partial\theta}(r u_y \cos\theta) = -r u_y \sin\theta + r (u_{yx}x_\theta + u_{yy}y_\theta)\cos\theta.$$
代入 $x_\theta = -r\sin\theta$, $y_\theta = r\cos\theta$，整理得：
$$u_{\theta\theta} = -r(u_x\cos\theta + u_y\sin\theta) + r^2(u_{xx}\sin^2\theta - 2u_{xy}\sin\theta\cos\theta + u_{yy}\cos^2\theta).$$
提示：注意对 $\theta$ 求导时，$u_x$ 和 $u_y$ 仍是 $x,y$ 的函数，需继续使用链式法则。
步骤 4/6
目标：组合得到极坐标下的Laplace算子
将 $u_{rr}$ 和 $u_{\theta\theta}$ 组合，并加上 $\frac{1}{r}u_r$：
$$u_{rr} + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} + \frac{1}{r}u_r = (u_{xx}\cos^2\theta + 2u_{xy}\sin\theta\cos\theta + u_{yy}\sin^2\theta) + \frac{1}{r^2}\left[-r(u_x\cos\theta+u_y\sin\theta) + r^2(u_{xx}\sin^2\theta - 2u_{xy}\sin\theta\cos\theta + u_{yy}\cos^2\theta)\right] + \frac{1}{r}(u_x\cos\theta+u_y\sin\theta).$$
化简：$\frac{1}{r^2}$ 项中的 $-r(u_x\cos\theta+u_y\sin\theta)$ 与 $\frac{1}{r}u_r$ 抵消，剩余项合并得：
$$u_{xx}(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + u_{yy}(\sin^2\theta+\cos^2\theta) + 2u_{xy}(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta) = u_{xx}+u_{yy}.$$
因此极坐标下的Laplace算子为：
$$u_{xx}+u_{yy} = u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}.$$
公式：Laplace算子极坐标形式：$\Delta u = u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}$
提示：注意 $\frac{1}{r^2}$ 项中的线性项与 $\frac{1}{r}u_r$ 恰好抵消，这是关键。
步骤 5/6
目标：写出变换后的方程（1）
原方程 $u_{xx}+u_{yy}=f(x,y)$ 在极坐标下变为：
$$u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} = f(r\cos\theta, r\sin\theta).$$
提示：注意 $f$ 的自变量也要相应替换为极坐标形式。
步骤 6/6
目标：写出Laplace方程在极坐标下的形式（2）
对于Laplace方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$，由（1）的结果直接得到：
$$u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} = 0.$$
提示：这是常见形式，注意 $\frac{1}{r}u_r$ 项不能遗漏。
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