下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第16题
📝 题目
16．通过变量代换变换下列方程．
（1）已知 $z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足方程 $z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 。利用变换 $u=x+y$ ， $v=x-y, w=x y-z(x, y)$ ，证明：$w=w(u, v)$ 满足偏导数方程 $2 w_{u u}=1$ ，并确定 $w=w(u, v)$ 的表达式．
（2）设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $u, v$ 为新的变量以及 $w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $z_{x x}+z_{x y}+z_{x}=z$ ．
（3）设 $u=x, v=x+y, w=x+y+z$ ，以 $u, v$ 为新的自变量，$w=w(u, v)$ 为新函数，把方程 $z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 变换为 $w_{u u}=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$u_{x}=v_{x}=u_{y}=1, v_{y}=-1$ ．
$$
\begin{aligned}
& z_{x}=y-w_{u} u_{x}-w_{v} v_{x}=y-w_{u}-w_{v}, z_{y}=x-w_{u} u_{y}-w_{v} v_{y}=x-w_{u}+w_{v} . \\
& z_{x x}=-w_{u u} u_{x}-w_{u v} u_{x}-w_{v u} v_{x}-w_{v v} v_{x}=-w_{u u}-2 w_{u v}-w_{v v}, \\
& z_{x y}=1-w_{u u}+w_{v v}, z_{y y}=-w_{u u}+2 w_{u v}-w_{v v} .
\end{aligned}
$$
于是 $z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=2-4 w_{u u}$ 。
代人原方程得 $2 w_{u u}=1$ ．从而
$$
w(u, v)=\frac{1}{4} u^{2}+f(v) u+g(v) \text {, 其中 } f, g \text { 是 } v \text { 的二次连续可微函数. }
$$
（2）函数 $z(x, y)$ 视为 $\displaystyle z=w \mathrm{e}^{-y}, w=w(u, v), u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}$ 的复合。于是
$$
\begin{aligned}
& z_{x}=\mathrm{e}^{-y}\left(w_{u} u_{x}+w_{v} v_{x}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u}+w_{v}\right) \\
& z_{x x}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u u} u_{x}+w_{u v} v_{x}+w_{v u} u_{x}+w_{v v} v_{x}\right)=\frac{1}{4} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u u}+2 w_{u v}+w_{v v}\right) \\
& z_{x y}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u u} u_{y}+w_{u v} v_{y}+w_{v u} u_{y}+w_{v v} v_{y}\right)-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u}+w_{v}\right)=\frac{1}{4} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u u}-w_{v v}\right)-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u}+w_{v}\right)
\end{aligned}
$$
故 $\displaystyle z_{x x}+u_{x y}+z_{x}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y}\left(w_{u u}+w_{u v}\right)=z$ ，即 $w_{u u}+w_{u v}=2 w$ 。
（3）由 $z=w-x-y$ 得
$$
\begin{aligned}
& z_{x}=w_{x}-1=w_{u}+w_{v}-1, z_{y}=w_{y}-1=w_{v}-1 \\
& z_{x x}=w_{u u}+2 w_{u v}+w_{v v}, z_{x y}=w_{u v}+w_{v v}, z_{y y}=w_{v v}
\end{aligned}
$$
代人 $z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 得到 $w_{u u}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立新变量与旧变量的关系
已知变换 $u=x+y$, $v=x-y$, $w=xy-z(x,y)$。首先计算新变量对旧变量的偏导数：$u_x=1$, $u_y=1$, $v_x=1$, $v_y=-1$。
提示：注意 $v_y=-1$ 容易误写为 $1$。
步骤 2/5
目标：用 $w$ 表示 $z$ 的一阶偏导
由 $w=xy-z$ 得 $z=xy-w$，对 $x$ 求偏导：$z_x = y - w_x$，而 $w_x = w_u u_x + w_v v_x = w_u + w_v$，所以 $z_x = y - w_u - w_v$。同理，$z_y = x - w_u u_y - w_v v_y = x - w_u + w_v$。
公式：链式法则：$w_x = w_u u_x + w_v v_x$
提示：注意 $w$ 是 $u,v$ 的函数，求偏导时要用链式法则。
步骤 3/5
目标：计算 $z$ 的二阶偏导
对 $z_x$ 再求 $x$ 偏导：$z_{xx} = - (w_{uu} u_x + w_{uv} v_x) - (w_{vu} u_x + w_{vv} v_x) = -w_{uu} - 2w_{uv} - w_{vv}$。
对 $z_x$ 求 $y$ 偏导：$z_{xy} = 1 - (w_{uu} u_y + w_{uv} v_y) - (w_{vu} u_y + w_{vv} v_y) = 1 - w_{uu} + w_{vv}$。
对 $z_y$ 求 $y$ 偏导：$z_{yy} = - (w_{uu} u_y + w_{uv} v_y) + (w_{vu} u_y + w_{vv} v_y) = -w_{uu} + 2w_{uv} - w_{vv}$。
公式：二阶偏导链式法则
提示：注意 $z_{xy}$ 中常数项 $1$ 来自 $y$ 对 $y$ 的导数。
步骤 4/5
目标：代入原方程化简
原方程 $z_{xx}+2z_{xy}+z_{yy}=0$，代入得：
$(-w_{uu}-2w_{uv}-w_{vv}) + 2(1-w_{uu}+w_{vv}) + (-w_{uu}+2w_{uv}-w_{vv}) = 2 - 4w_{uu} = 0$，
即 $2w_{uu}=1$。
提示：合并同类项时注意 $w_{uv}$ 和 $w_{vv}$ 项抵消。
步骤 5/5
目标：求解 $w$ 的表达式
由 $2w_{uu}=1$ 得 $w_{uu}=\frac{1}{2}$。对 $u$ 积分两次：$w_u = \frac{1}{2}u + f(v)$，$w = \frac{1}{4}u^2 + f(v)u + g(v)$，其中 $f,g$ 是 $v$ 的任意二次连续可微函数。
公式：不定积分
提示：积分常数是 $v$ 的函数，不要漏掉。
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