下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第17题
📝 题目
17．用 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{x}{y}, w=\frac{z}{x}$ ，变换方程 $z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ，其中 $u, v$ 为新的自变量，$w$ 为新的因变量．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\displaystyle w=\frac{z}{x}$ ，因此 $z=w x$ 。于是
$$
\begin{aligned}
z_{x} & =w+x w_{x}=w+x w_{u}+\frac{x}{y} w_{v}, z_{y}=x w_{y}=x w_{u}-\frac{x^{2}}{y^{2}} w_{v} . \\
z_{x v} & =w_{u} u_{x}+w_{v} v_{x}+w_{u}+x\left(w_{u u} u_{x}+w_{u v} v_{x}\right)+\frac{1}{y} w_{v}+\frac{x}{y}\left(w_{v u} u_{x}+w_{v v} v_{x}\right) \\
& =2 w_{u}+\frac{2}{y} w_{v}+x w_{u u}+\frac{2 x}{y} w_{u v}+\frac{x}{y^{2}} w_{v v} . \\
z_{x y} & =w_{u}-\frac{2 x}{y^{2}} w_{v}+x w_{u u}-\frac{x^{2}}{y^{2}} w_{u v}+\frac{x}{y} w_{v u}-\frac{x^{2}}{y^{3}} w_{v v} \\
z_{y y} & =x w_{u u}-\frac{2 x^{2}}{y^{2}} w_{u v}+\frac{2 x^{2}}{y^{3}} w_{v}+\frac{x^{3}}{y^{4}} w_{v v} .
\end{aligned}
$$
代人 $z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 得到 $2 w_{v}+v w_{v v}=0$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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