下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第19题
📝 题目
19．已知函数 $z=z(x, y)$ 满足方程 $\left(1-x^{2}\right) z_{x x}+\left(1-y^{2}\right) z_{x y}=x z_{x}+y z_{y}$ ，试利用 $x=\sin \xi$ ， $y=\sin \eta, z=\mathrm{e}^{u}$ 把方程变成新函数 $u=u(\xi, \eta)$ 所满足的方程．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由复合函数求导法则有
于是
$$
\begin{aligned}
& z_{x}=\mathrm{e}^{u} u_{\xi} \xi_{x}=\mathrm{e}^{u} u_{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, z_{y}=\mathrm{e}^{u} u_{\eta} \eta_{y}=\mathrm{e}^{u} u_{\eta} \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \\
& z_{x x}=\left(\mathrm{e}^{u} u_{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)_{x}=x \frac{\mathrm{e}^{u} u_{\xi}}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}}+\left(\mathrm{e}^{u} u_{\xi}^{2}+\mathrm{e}^{u} u_{\xi \xi}\right) \frac{1}{1-x^{2}} \\
& z_{y y}=\left(\mathrm{e}^{u} u_{\eta} \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\right)_{y}=y \frac{\mathrm{e}^{u} u_{\eta}}{\sqrt{\left(1-y^{2}\right)^{3}}}+\left(\mathrm{e}^{u} u_{\eta}^{2}+\mathrm{e}^{u} u_{y y}\right) \frac{1}{1-y^{2}} \\
& \left(1-x^{2}\right) z_{x x}+\left(1-y^{2}\right) z_{y x}-x z_{x}-y z_{y}=\mathrm{e}^{u}\left(u_{\xi}^{2}+u_{\xi \xi}+u_{\eta}^{2}+u_{\eta \eta}\right)
\end{aligned}
$$
所以 $u_{\xi}^{2}+u_{\xi \xi}+u_{\eta}^{2}+u_{\eta \eta}=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换与复合函数求导
设 $x=\sin\xi$, $y=\sin\eta$, $z=e^u$，则 $\xi=\arcsin x$, $\eta=\arcsin y$。由复合函数求导法则，先求一阶偏导：
$$z_x = e^u u_\xi \xi_x = e^u u_\xi \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$z_y = e^u u_\eta \eta_y = e^u u_\eta \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$
公式：$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
提示：注意 $\xi_x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，不要忘记根号。
步骤 2/5
目标：计算二阶偏导 $z_{xx}$
对 $z_x$ 再对 $x$ 求导：
$$z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(e^u u_\xi \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$$
先求 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$。
再对 $e^u u_\xi$ 求导：$\frac{\partial}{\partial x}(e^u u_\xi) = e^u u_x u_\xi + e^u u_{\xi x}$，其中 $u_x = u_\xi \xi_x = u_\xi \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$u_{\xi x} = u_{\xi\xi} \xi_x = u_{\xi\xi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
因此
$$\frac{\partial}{\partial x}(e^u u_\xi) = e^u u_\xi^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + e^u u_{\xi\xi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi}) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
由乘积法则：
$$z_{xx} = \left[ e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi}) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right] \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + e^u u_\xi \cdot \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$$
$$= e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi}) \frac{1}{1-x^2} + e^u u_\xi \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$$
公式：乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
提示：注意对 $e^u u_\xi$ 求导时，$u$ 和 $u_\xi$ 都是 $x$ 的函数，要使用链式法则。
步骤 3/5
目标：计算二阶偏导 $z_{yy}$
类似地，对 $z_y$ 再对 $y$ 求导：
$$z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(e^u u_\eta \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)$$
$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right) = \frac{y}{(1-y^2)^{3/2}}$$
$$\frac{\partial}{\partial y}(e^u u_\eta) = e^u u_y u_\eta + e^u u_{\eta y} = e^u u_\eta^2 \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} + e^u u_{\eta\eta} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} = e^u (u_\eta^2 + u_{\eta\eta}) \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$
因此
$$z_{yy} = e^u (u_\eta^2 + u_{\eta\eta}) \frac{1}{1-y^2} + e^u u_\eta \frac{y}{(1-y^2)^{3/2}}$$
提示：注意与 $z_{xx}$ 的对称性，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：代入原方程并化简
原方程为 $(1-x^2)z_{xx} + (1-y^2)z_{yy} = x z_x + y z_y$。
代入 $z_{xx}$ 和 $z_{yy}$：
$$(1-x^2)\left[ e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi}) \frac{1}{1-x^2} + e^u u_\xi \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} \right] + (1-y^2)\left[ e^u (u_\eta^2 + u_{\eta\eta}) \frac{1}{1-y^2} + e^u u_\eta \frac{y}{(1-y^2)^{3/2}} \right]$$
$$= x\left( e^u u_\xi \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) + y\left( e^u u_\eta \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \right)$$
化简左边第一项：$(1-x^2) \cdot e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi}) \frac{1}{1-x^2} = e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi})$；
第二项：$(1-x^2) \cdot e^u u_\xi \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} = e^u u_\xi \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$；
类似地，左边第三项：$e^u (u_\eta^2 + u_{\eta\eta})$；
第四项：$e^u u_\eta \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$。
因此左边为：
$$e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi}) + e^u u_\xi \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + e^u (u_\eta^2 + u_{\eta\eta}) + e^u u_\eta \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$$
右边为：
$$e^u u_\xi \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + e^u u_\eta \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$$
两边同时减去右边，得到：
$$e^u (u_\xi^2 + u_{\xi\xi} + u_\eta^2 + u_{\eta\eta}) = 0$$
由于 $e^u \neq 0$，所以
$$u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + u_\xi^2 + u_\eta^2 = 0$$
提示：注意 $(1-x^2)$ 与 $\frac{1}{1-x^2}$ 相乘消去，但 $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 项与右边对应项抵消，避免遗漏。
步骤 5/5
目标：得到新方程
最终新函数 $u=u(\xi,\eta)$ 满足的方程为：
$$u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + u_\xi^2 + u_\eta^2 = 0$$
提示：注意方程形式，是二阶非线性偏微分方程。
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