下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第20题
📝 题目
20．设 $f(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，$\theta$ 为常数，令 $x=u \cos \theta-v \sin \theta, y=u \sin \theta+v \cos \theta$ ，则 $\left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}=\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}, \quad f_{x x}+f_{y y}=f_{u u}+f_{v v}$.
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $f_{u}=f_{x} \cos \theta+f_{y} \sin \theta, f_{v}=-f_{x} \sin \theta+f_{y} \cos \theta$ ，所以
又
$$
\begin{aligned}
\left(f_{u}\right)^{2} & +\left(f_{v}\right)^{2}=\left(f_{x} \cos \theta+f_{y} \sin \theta\right)^{2}+\left(-f_{x} \sin \theta+f_{y} \cos \theta\right)^{2}=\left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2} \\
f_{u u} & =\left(f_{x} \cos \theta\right)_{u}+\left(f_{y} \sin \theta\right)_{u}=\cos \theta\left(f_{x x} x_{u}+f_{x y} y_{u}\right)+\sin \theta\left(f_{y x} x_{u}+f_{y y} y_{u}\right) \\
& =\cos \theta\left(f_{x x} \cos \theta+f_{x y} \sin \theta\right)+\sin \theta\left(f_{y x} \cos \theta+f_{y y} \sin \theta\right) \\
& =f_{x x} \cos ^{2} \theta+2 f_{x y} \cos \theta \sin \theta+f_{y y} \sin ^{2} \theta \\
f_{v v} & =\left(-f_{x} \sin \theta\right)_{v}+\left(f_{y} \cos \theta\right)_{v}=-\sin \theta\left(f_{x x} x_{v}+f_{x y} y_{v}\right)+\cos \theta\left(f_{y x} x_{v}+f_{y y} y_{v}\right) \\
& =-\sin \theta\left(-f_{x x} \sin \theta+f_{x y} \cos \theta\right)+\cos \theta\left(-f_{y x} \sin \theta+f_{y y} \cos \theta\right) \\
& =f_{x x} \sin ^{2} \theta-2 f_{x y} \cos \theta \sin \theta+f_{y y} \cos ^{2} \theta
\end{aligned}
$$
于是 $\quad f_{x x}+f_{y y}=f_{u u}+f_{v v}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换与链式法则求一阶偏导
设 $x=u\cos\theta - v\sin\theta$, $y=u\sin\theta + v\cos\theta$，则 $f_u = f_x x_u + f_y y_u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta$，$f_v = f_x x_v + f_y y_v = f_x (-\sin\theta) + f_y \cos\theta = -f_x \sin\theta + f_y \cos\theta$。
公式：$f_u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta$, $f_v = -f_x \sin\theta + f_y \cos\theta$
提示：注意链式法则中 $x_u = \cos\theta$, $y_u = \sin\theta$, $x_v = -\sin\theta$, $y_v = \cos\theta$。
步骤 2/5
目标：证明第一个等式：梯度模长不变
计算 $(f_u)^2 + (f_v)^2 = (f_x\cos\theta + f_y\sin\theta)^2 + (-f_x\sin\theta + f_y\cos\theta)^2$。展开得 $f_x^2\cos^2\theta + 2f_x f_y \cos\theta\sin\theta + f_y^2\sin^2\theta + f_x^2\sin^2\theta - 2f_x f_y \sin\theta\cos\theta + f_y^2\cos^2\theta = f_x^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + f_y^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = f_x^2 + f_y^2$。
公式：$(f_u)^2+(f_v)^2 = (f_x)^2+(f_y)^2$
提示：注意交叉项抵消，利用 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$。
步骤 3/5
目标：求二阶偏导 $f_{uu}$
由 $f_u = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta$，对 $u$ 求偏导：$f_{uu} = \cos\theta (f_{xx}x_u + f_{xy}y_u) + \sin\theta (f_{yx}x_u + f_{yy}y_u)$。代入 $x_u=\cos\theta$, $y_u=\sin\theta$，得 $f_{uu} = \cos\theta (f_{xx}\cos\theta + f_{xy}\sin\theta) + \sin\theta (f_{yx}\cos\theta + f_{yy}\sin\theta) = f_{xx}\cos^2\theta + 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\sin^2\theta$，其中 $f_{xy}=f_{yx}$。
公式：$f_{uu} = f_{xx}\cos^2\theta + 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\sin^2\theta$
提示：注意二阶混合偏导连续，所以 $f_{xy}=f_{yx}$。
步骤 4/5
目标：求二阶偏导 $f_{vv}$
由 $f_v = -f_x\sin\theta + f_y\cos\theta$，对 $v$ 求偏导：$f_{vv} = -\sin\theta (f_{xx}x_v + f_{xy}y_v) + \cos\theta (f_{yx}x_v + f_{yy}y_v)$。代入 $x_v=-\sin\theta$, $y_v=\cos\theta$，得 $f_{vv} = -\sin\theta (f_{xx}(-\sin\theta) + f_{xy}\cos\theta) + \cos\theta (f_{yx}(-\sin\theta) + f_{yy}\cos\theta) = f_{xx}\sin^2\theta - 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\cos^2\theta$。
公式：$f_{vv} = f_{xx}\sin^2\theta - 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\cos^2\theta$
提示：注意符号：$x_v=-\sin\theta$, $y_v=\cos\theta$，代入时小心。
步骤 5/5
目标：证明第二个等式：拉普拉斯算子不变
将 $f_{uu}$ 和 $f_{vv}$ 相加：$f_{uu}+f_{vv} = (f_{xx}\cos^2\theta + f_{yy}\sin^2\theta + 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta) + (f_{xx}\sin^2\theta + f_{yy}\cos^2\theta - 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta) = f_{xx}(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + f_{yy}(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = f_{xx}+f_{yy}$。
公式：$f_{uu}+f_{vv} = f_{xx}+f_{yy}$
提示：交叉项抵消，利用三角恒等式。
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