下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第21题
📝 题目
21．变换方程．
（1）设 $u=x-2 \sqrt{y}, v=x+2 \sqrt{y}$ ，以 $u, v$ 为新的自变量变换方程 $\displaystyle z_{x x}-y z_{y y}=\frac{1}{2} z_{y}(y>0)$ ，并求解该方程．
（2）证明线性变换 $\displaystyle \xi=x-y, \eta=x-\frac{1}{3} y$ 将方程 $z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为方程 $z_{\xi \eta}=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）经计算有
$$
z_{x}=z_{u} u_{x}+z_{v} v_{x}=z_{u}+z_{v}, z_{y}=z_{u} u_{y}+z_{v} v_{y}=-\frac{1}{\sqrt{y}}\left(z_{u}-z_{v}\right)
$$
$$
z_{x x}=z_{u u}+2 z_{u v}+z_{v v}, z_{y y}=\frac{1}{2 \sqrt{y^{3}}}\left(z_{u}-z_{v}\right)+\frac{1}{y}\left(z_{u u}-2 z_{u v}+z_{v v}\right)
$$
代人原方程得到 $\displaystyle z_{x x}-y z_{y y}-\frac{1}{2} z_{y}=4 z_{u v}=0$ ．所以原方程变换为 $z_{u v}=0$ ．
由 $z_{u v}=0$ 积分得 $z_{u}=f\left(u, c_{1}\right)$ ，再积分得 $z=\int f\left(u, c_{1}\right) \mathrm{d} u+g\left(v, c_{2}\right)$ 。代入变换得
$$
z=\int f\left(x-2 \sqrt{y}, c_{1}\right)\left(\mathrm{d} x-\frac{1}{\sqrt{y}} \mathrm{~d} y\right)+g\left(x+2 \sqrt{y}, c_{2}\right)
$$
（2）$\displaystyle z_{x}=z_{\xi} \xi_{x}+z_{\eta} \eta_{x}=z_{\xi}+z_{\eta}, z_{y}=z_{\xi} \xi_{y}+z_{\eta} \eta_{y}=-z_{\xi}-\frac{1}{3} z_{\eta}$ ．
$$
z_{x x}=z_{\xi \xi}+2 z_{\xi \eta}+z_{\eta \eta}, z_{x y}=-z_{\xi \xi}-\frac{4}{3} z_{\xi \eta}-\frac{1}{3} z_{\eta \eta}, z_{y y}=z_{\xi \xi}+\frac{2}{3} z_{\xi \eta}+\frac{1}{9} z_{\eta \eta} .
$$
于是 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}^{*}=z_{\xi \xi}+2 z_{\xi \eta}+z_{\eta \eta}+4\left(-z_{\xi \xi}-\frac{4}{3} z_{\xi \eta}-\frac{1}{3} z_{\eta \eta}\right)+3\left(z_{\xi \xi}+\frac{2}{3} z_{\xi \eta}+\frac{1}{9} z_{\eta \eta}\right)=-\frac{4}{3} z_{\xi \eta}$ ．
所以线性变换 $\displaystyle \xi=x-y, \eta=x-\frac{y}{3}$ 将方程 $z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为方程 $z_{\xi \eta}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算一阶偏导数
设 $u=x-2\sqrt{y}$, $v=x+2\sqrt{y}$，则 $u_x=1$, $v_x=1$, $u_y=-\frac{1}{\sqrt{y}}$, $v_y=\frac{1}{\sqrt{y}}$。由链式法则：
$$z_x = z_u u_x + z_v v_x = z_u + z_v,$$
$$z_y = z_u u_y + z_v v_y = -\frac{1}{\sqrt{y}}z_u + \frac{1}{\sqrt{y}}z_v = -\frac{1}{\sqrt{y}}(z_u - z_v).$$
公式：链式法则：$z_x = z_u u_x + z_v v_x$
提示：注意 $u_y$ 和 $v_y$ 的符号，$\sqrt{y}$ 的导数为 $\frac{1}{2\sqrt{y}}$，但此处 $u_y = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$。
步骤 2/8
目标：计算二阶偏导数
对 $z_x$ 再求 $x$ 的偏导：
$$z_{xx} = (z_u + z_v)_x = z_{uu}u_x + z_{uv}v_x + z_{vu}u_x + z_{vv}v_x = z_{uu} + 2z_{uv} + z_{vv}.$$
对 $z_y$ 再求 $y$ 的偏导：
$$z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{\sqrt{y}}(z_u - z_v)\right) = \frac{1}{2\sqrt{y^3}}(z_u - z_v) - \frac{1}{\sqrt{y}}(z_{uy}u_y + z_{vy}v_y - (z_{uv}u_y + z_{vv}v_y)).$$
计算得 $z_{yy} = \frac{1}{2\sqrt{y^3}}(z_u - z_v) + \frac{1}{y}(z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv}).$
公式：乘积法则和链式法则
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{y^3}}$，且 $z_u$ 和 $z_v$ 是 $u,v$ 的函数，求导时需用链式法则。
步骤 3/8
目标：代入原方程化简
原方程为 $z_{xx} - y z_{yy} = \frac{1}{2}z_y$。代入 $z_{xx}$, $z_{yy}$, $z_y$：
$$(z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv}) - y\left[\frac{1}{2\sqrt{y^3}}(z_u - z_v) + \frac{1}{y}(z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv})\right] = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{\sqrt{y}}(z_u - z_v)\right].$$
化简：左边 $= z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv} - \frac{1}{2\sqrt{y}}(z_u - z_v) - (z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv}) = 4z_{uv} - \frac{1}{2\sqrt{y}}(z_u - z_v)$。右边 $= -\frac{1}{2\sqrt{y}}(z_u - z_v)$。两边消去 $\frac{1}{2\sqrt{y}}(z_u - z_v)$ 得 $4z_{uv}=0$，即 $z_{uv}=0$。
提示：注意 $y \cdot \frac{1}{y} = 1$，且 $y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y^3}} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$。
步骤 4/8
目标：求解简化后的方程
方程 $z_{uv}=0$ 表示 $z_u$ 与 $v$ 无关，故 $z_u = f(u)$，其中 $f$ 是 $u$ 的任意函数。再对 $u$ 积分得 $z = \int f(u) du + g(v)$，其中 $g$ 是 $v$ 的任意函数。令 $F(u) = \int f(u) du$，则通解为 $z = F(u) + g(v)$。
公式：偏微分方程 $z_{uv}=0$ 的通解为 $z = F(u) + G(v)$
提示：注意积分时，$f(u)$ 的原函数 $F(u)$ 可以包含任意常数，但最终由 $g(v)$ 吸收。
步骤 5/8
目标：回代原变量得到原方程通解
将 $u = x-2\sqrt{y}$, $v = x+2\sqrt{y}$ 代入通解：
$$z = F(x-2\sqrt{y}) + G(x+2\sqrt{y}),$$
其中 $F$ 和 $G$ 是任意二次可微函数。
提示：注意 $y>0$ 保证 $\sqrt{y}$ 有意义。
步骤 6/8
目标：计算第二问的一阶偏导数
设 $\xi = x-y$, $\eta = x-\frac{1}{3}y$，则 $\xi_x=1$, $\xi_y=-1$, $\eta_x=1$, $\eta_y=-\frac{1}{3}$。由链式法则：
$$z_x = z_\xi \xi_x + z_\eta \eta_x = z_\xi + z_\eta,$$
$$z_y = z_\xi \xi_y + z_\eta \eta_y = -z_\xi - \frac{1}{3}z_\eta.$$
公式：链式法则
提示：注意 $\eta_y = -\frac{1}{3}$，不要漏掉负号。
步骤 7/8
目标：计算第二问的二阶偏导数
对 $z_x$ 再求 $x$ 的偏导：
$$z_{xx} = (z_\xi + z_\eta)_x = z_{\xi\xi}\xi_x + z_{\xi\eta}\eta_x + z_{\eta\xi}\xi_x + z_{\eta\eta}\eta_x = z_{\xi\xi} + 2z_{\xi\eta} + z_{\eta\eta}.$$
对 $z_x$ 再求 $y$ 的偏导：
$$z_{xy} = (z_\xi + z_\eta)_y = z_{\xi\xi}\xi_y + z_{\xi\eta}\eta_y + z_{\eta\xi}\xi_y + z_{\eta\eta}\eta_y = -z_{\xi\xi} - \frac{4}{3}z_{\xi\eta} - \frac{1}{3}z_{\eta\eta}.$$
对 $z_y$ 再求 $y$ 的偏导：
$$z_{yy} = (-z_\xi - \frac{1}{3}z_\eta)_y = -z_{\xi\xi}\xi_y - z_{\xi\eta}\eta_y - \frac{1}{3}z_{\eta\xi}\xi_y - \frac{1}{3}z_{\eta\eta}\eta_y = z_{\xi\xi} + \frac{2}{3}z_{\xi\eta} + \frac{1}{9}z_{\eta\eta}.$$
公式：链式法则
提示：注意混合偏导 $z_{\xi\eta}=z_{\eta\xi}$，且计算时仔细系数。
步骤 8/8
目标：代入第二问原方程并化简
原方程为 $z_{xx} + 4z_{xy} + 3z_{yy} = 0$。代入：
$$(z_{\xi\xi}+2z_{\xi\eta}+z_{\eta\eta}) + 4(-z_{\xi\xi} - \frac{4}{3}z_{\xi\eta} - \frac{1}{3}z_{\eta\eta}) + 3(z_{\xi\xi} + \frac{2}{3}z_{\xi\eta} + \frac{1}{9}z_{\eta\eta}) = 0.$$
合并同类项：
$z_{\xi\xi}$ 系数：$1 - 4 + 3 = 0$；
$z_{\xi\eta}$ 系数：$2 - \frac{16}{3} + 2 = 2 - \frac{16}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}$；
$z_{\eta\eta}$ 系数：$1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = 0$。
故得 $-\frac{4}{3}z_{\xi\eta}=0$，即 $z_{\xi\eta}=0$。
提示：注意系数计算要准确，特别是 $3 \times \frac{2}{3}=2$ 和 $3 \times \frac{1}{9}=\frac{1}{3}$。
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