下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第23题

\section*{解题过程：} 将 $u$ 看作中间变量 $\xi, \eta$ 的函数，而 $\xi, \eta$ 又是自变量 $x, y$ 的函数，即 则 $$ \begin{aligned} & u=u(\xi, \eta), \xi=x+\lambda_{1} y, \eta=x+\lambda_{2} y \\ & u_{x}=u_{\xi} \xi_{x}+u_{\eta} \eta_{x}=u_{\xi}+u_{\eta}, u_{y}=u_{\xi} \xi_{y}+u_{\eta} \eta_{y}=\lambda_{1} u_{\xi}+\lambda_{2} u_{\eta} . \\ & u_{x x}=u_{\xi \xi}+2 u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta}, u_{x y}=\lambda_{1} u_{\xi \xi}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) u_{\xi \eta}+\lambda_{2} u_{\eta \eta}, u_{y y}=\lambda_{1}^{2} u_{\xi \xi}+2 \lambda_{1} \lambda_{2} u_{\xi \eta}+\lambda_{2}^{2} u_{\eta \eta} . \end{aligned} $$ 将其代人方程 $a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 得 $$ a\left(u_{\xi \xi}+2 u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta}\right)+2 b\left[\lambda_{1} u_{\xi \xi}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) u_{\xi \eta}+\lambda_{2} u_{\eta \eta}\right]+c\left(\lambda_{1}^{2} u_{\xi \xi}+2 \lambda_{1} \lambda_{2} u_{\xi \eta}+\lambda_{2}^{2} u_{\eta \eta}\right)=0 . $$ 因为线性变换 $\xi=x+\lambda_{1} y, \eta=x+\lambda_{2} y$ 把方程 $a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 变换为方程 $u_{\xi \eta}=0$ 。所以 $$ a+2 b \lambda_{2}+c \lambda_{2}^{2}=0, a+2 b \lambda_{1}+c \lambda_{1}^{2}=0, a+b\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)+c \lambda_{1} \lambda_{2} \neq 0 . $$ 由条件 $a c-b^{2}<0$ 知，一元二次方程 $a+2 b t+c t^{2}=0$ 有两个相异实根，所以只要取 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 为方程的两个相异实根，即 $\displaystyle \lambda_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-a c}}{c}, \lambda_{2}=-\frac{b+\sqrt{b^{2}-a c}}{c}$ ，原方程化简为 $u_{\xi \eta}=0$ 。 由 $u_{\xi \eta}=0$ 知 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)=0$ ，于是 $$ \frac{\partial u}{\partial v}=\varphi\left(v, c_{1}\right), u=\int \varphi\left(v, c_{1}\right) \mathrm{d} v+\psi\left(u, c_{2}\right) . $$ 故 $u=f\left(x+\lambda_{1} y, c_{1}\right)+g\left(x+\lambda_{2} y, c_{2}\right)$ 为满足 $a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 的一切函数．