下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第24题
📝 题目
24．变换方程．
（1）设 $u(x, y)$ 满足 $u_{x x}-u_{y y}+2\left(u_{x}+u_{y}\right)=0$ 。用 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ 变换方程，确定 $\alpha, \beta$ 使方程不含一阶导数项．
（2）设 $z=u(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ，其中 $u(x, y)$ 满足 $u_{x y}=0$ ，确定 $\alpha, \beta$ 使下述等式成立：
$$
z_{x y}-z_{x}-z_{y}+z=0 \text {. }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）已知 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ，则
$$
\begin{aligned}
& u_{x}=v_{x} \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}+\alpha v \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}=\left(v_{x}+\alpha v\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}, u_{y}=v_{y} \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}+\beta v \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}=\left(v_{y}+\beta v\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y} . \\
& u_{x x}=\left(v_{x x}+2 \alpha v_{x}+\alpha^{2} v\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}, u_{y y}=\left(v_{y y}+2 \beta v_{y}+\beta^{2} v\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y} .
\end{aligned}
$$
所以 $u_{x x}-u_{y y}+2\left(u_{x}+u_{y}\right)=\left[\left(v_{x x}+2 \alpha v_{x}+\alpha^{2} v\right)-\left(v_{y y}+2 \beta v_{y}+\beta^{2} v\right)+2\left(v_{x}+\alpha v+v_{y}+\beta v\right)\right] \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ．要使方程 $u_{x x}-u_{y y}+2\left(u_{x}+u_{y}\right)=0$ 不含一阶导数项，必须 $\alpha+1=0, \beta-1=0$ ，即 $\alpha=-1, \beta=1$ 。
（2）已知 $z=u(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ，则
$$
z_{x}=u_{x} \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}+\alpha u \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}=\left(u_{x}+\alpha u\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}, z_{y}=u_{y} \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}+\beta u \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}=\left(u_{y}+\beta u\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y} .
$$
$$
\begin{aligned}
z_{x y}=\beta\left(u_{x}+\alpha u\right) & \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}+\mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}\left(u_{x y}+\alpha u_{y}\right)=\mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}\left(\beta u_{x}+\alpha \beta u+u_{x y}+\alpha u_{y}\right)=\mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}\left(\beta u_{x}+\alpha \beta u+\alpha u_{y}\right) \\
z_{x y}-z_{x}-z_{y}+z & =\mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}\left(\beta u_{x}+\alpha \beta u+\alpha u_{y}\right)-\left(u_{x}+\alpha u\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}-\left(u_{y}+\beta u\right) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}+z \\
& =\mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}\left[(\beta-1) u_{x}+(\alpha-1) u_{y}\right]+u[(\alpha-1)(\beta-1)] \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}
\end{aligned}
$$
要使等式 $z_{x y}-z_{x}-z_{y}+z=0$ 成立，必须 $\alpha-1=0, \beta-1=0$ ，即 $\alpha=1, \beta=1$ 。
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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