下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第25题
📝 题目
25．证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[0, l]$ 上连续，且当 $0 \leqslant \xi \leqslant l$ 时，$(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0$ ，则函数 $\displaystyle u(x, y, z)=\int_{0}^{1} \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} \xi$ 满足 Laplace 方程 $u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
& u_{x}=\int_{0}^{1} \frac{-(x-\xi) f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} \xi, u_{y}=\int_{0}^{1} \frac{-y f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} \xi, u_{z}=\int_{0}^{1} \frac{-z f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} \xi . \\
& u_{x x}=\int_{0}^{1}\left\{\frac{-f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}+\frac{3(x-\xi)^{2} f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{5}{2}}}\right\} \mathrm{d} \xi . \\
& u_{y y}=\int_{0}^{1}\left\{\frac{-f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}+\frac{3 y^{2} f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{5}{2}}}\right\} \mathrm{d} \xi . \\
& u_{z z}=\int_{0}^{1}\left\{\frac{-f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}+\frac{3 z^{2} f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{5}{2}}}\right\} \mathrm{d} \xi . \\
& u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=\int_{0}^{1} \frac{3 f(\xi)}{\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{5}{2}}}\left\{-\left[(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]+(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}\right\} \mathrm{d} \xi=0 .
\end{aligned}
$$
即函数 $\displaystyle u(x, y, z)=\int_{0}^{l} \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} \xi$ 满足 Laplace 方程 $u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数
对 $u(x,y,z)=\int_0^l \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^2+y^2+z^2}} d\xi$ 求偏导，由于积分区间与 $x,y,z$ 无关，且被积函数在积分区间内连续可微（因为分母不为零），可在积分号下求导。
对 $x$ 求偏导：
$$u_x = \int_0^l \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^2+y^2+z^2}} \right) d\xi = \int_0^l \frac{-(x-\xi) f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} d\xi.$$
对 $y$ 求偏导：
$$u_y = \int_0^l \frac{-y f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} d\xi.$$
对 $z$ 求偏导：
$$u_z = \int_0^l \frac{-z f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} d\xi.$$
公式：$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{(x-\xi)^2+y^2+z^2}} = \frac{-(x-\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}}$
提示：注意分母不为零的条件，确保求导合法。求导时注意链式法则，符号不要出错。
步骤 2/5
目标：求二阶偏导数 $u_{xx}$
对 $u_x$ 再次对 $x$ 求偏导：
$$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \int_0^l \frac{-(x-\xi) f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} d\xi = \int_0^l \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-(x-\xi) f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} \right) d\xi.$$
计算被积函数的导数：
令 $R = \sqrt{(x-\xi)^2+y^2+z^2}$，则分母为 $R^3$。
$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-(x-\xi)}{R^3} \right) = -\frac{1}{R^3} - (x-\xi) \cdot \left( -\frac{3}{2} \cdot 2(x-\xi) \cdot R^{-5} \right) = -\frac{1}{R^3} + \frac{3(x-\xi)^2}{R^5}.$$
乘以 $f(\xi)$ 得：
$$u_{xx} = \int_0^l \left( -\frac{f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} + \frac{3(x-\xi)^2 f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{5/2}} \right) d\xi.$$
公式：$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-(x-\xi)}{R^3} \right) = -\frac{1}{R^3} + \frac{3(x-\xi)^2}{R^5}$
提示：求导时注意分母的幂次变化，不要遗漏项。
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数 $u_{yy}$ 和 $u_{zz}$
类似地，对 $u_y$ 对 $y$ 求偏导：
$$u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \int_0^l \frac{-y f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} d\xi = \int_0^l \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{R^3} \right) f(\xi) d\xi.$$
计算：
$$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{R^3} \right) = -\frac{1}{R^3} - y \cdot \left( -\frac{3}{2} \cdot 2y \cdot R^{-5} \right) = -\frac{1}{R^3} + \frac{3y^2}{R^5}.$$
所以：
$$u_{yy} = \int_0^l \left( -\frac{f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} + \frac{3y^2 f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{5/2}} \right) d\xi.$$
同理：
$$u_{zz} = \int_0^l \left( -\frac{f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} + \frac{3z^2 f(\xi)}{\left[(x-\xi)^2+y^2+z^2\right]^{5/2}} \right) d\xi.$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{R^3} \right) = -\frac{1}{R^3} + \frac{3y^2}{R^5}$
提示：注意对称性，$u_{yy}$ 和 $u_{zz}$ 的形式与 $u_{xx}$ 类似，只是将 $(x-\xi)^2$ 换成 $y^2$ 或 $z^2$。
步骤 4/5
目标：求和 $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$
将三个二阶偏导数相加：
$$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = \int_0^l \left[ -\frac{3f(\xi)}{R^3} + \frac{3\left((x-\xi)^2+y^2+z^2\right) f(\xi)}{R^5} \right] d\xi.$$
注意 $R^2 = (x-\xi)^2+y^2+z^2$，所以 $\frac{3\left((x-\xi)^2+y^2+z^2\right)}{R^5} = \frac{3R^2}{R^5} = \frac{3}{R^3}$。
因此被积函数为：
$$-\frac{3f(\xi)}{R^3} + \frac{3f(\xi)}{R^3} = 0.$$
所以 $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = \int_0^l 0 \, d\xi = 0$。
公式：$R^2 = (x-\xi)^2+y^2+z^2$
提示：注意合并同类项时，$\frac{3R^2}{R^5} = \frac{3}{R^3}$，不要混淆指数。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，函数 $u(x,y,z)=\int_0^l \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^2+y^2+z^2}} d\xi$ 满足 Laplace 方程 $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$。
提示：注意题目中积分上限是 $l$，但推导中用了 $l$，与答案一致。
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