下册 7.4 隐函数的微分 第2题
📝 题目
2．证明或讨论下列各题．
（1）证明 $F(x, y)=2-\sin x+y^{3} \mathrm{e}^{-y}$ 在全平面有唯一解 $y=y(x)$ ，且 $y(x)$ 连续可导．
（2）设 $F(x, y)=x^{2} y^{3}+|x| y+y-5$ ．证 明：$F(x, y)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上确 定 唯 一 的 隐 函 数 $y=f(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值点．
💡 答案解析
解题过程：
（1）分两步证明：先证明隐函数 $y=y(x)$ 存在唯一，再证明其是连续可微的．
先证明 $\forall x \in \mathbf{R}$ ，方程 $y^{3} \mathrm{e}^{-y}=\sin x-2$ 有唯一解 $y=y(x)$ ．
记 $g(y)=y^{3} \mathrm{e}^{-y}$ ，则 $g^{\prime}(y)=y^{2}(3-y) \mathrm{e}^{-y}$ ．因为 $g(0)=0, g(3)>1$ 及 $\lim _{y \rightarrow+\infty} g(y)=0, \lim _{y \rightarrow-\infty} g(y)=-\infty$ ．当 $y \in(-\infty, 0)$ 时，$g^{\prime}(y)>0$ ，从而 $g(y)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上严格单调递增，且 $g(y)0, g(y)$ 在 $(0,3)$ 上严格单调递增，且 $00, y \in I$ ，$I$ 是有限闭区间，于是 $y=g^{-1}(\sin x-2)$ 是连续可微的．
（2）显然，当 $x=0, y=5$ 时，方程 $F(0, y)=0$ 满足．
对每一 $x \neq 0, F(x, y)$ 是关于 $y$ 的三次多项式，必有实根，记为 $y(x)$ ，满足 $F(x, y(x))=0$ ．
又 $F_{y}(x, y)=3 x^{2} y^{2}+|x|+1>0$ ，于是 $F(x, y)$ 关于 $y$ 是严格单调递增的，所以存在唯一的 $f(x)$使得 $F(x, f(x))=0, f(0)=5$ ，即方程 $F(x, y)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上确定唯一的隐函数 $y=f(x)$ ．
当 $x>0$ 时，$\displaystyle F_{x}(x, y)=2 x y^{3}+y, f^{\prime}(x)=-\frac{F_{x}}{F_{y}}=-\frac{2 x y^{3}+y}{3 x^{2} y^{2}+|x|+1} \neq 0$ ，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内无极值点．
当 $x<0$ 时，$\displaystyle F_{x}(x, y)=2 x y^{3}-y, f^{\prime}(x)=-\frac{F_{x}}{F_{y}}=-\frac{2 x y^{3}-y}{3 x^{2} y^{2}+|x|+1} \neq 0$ ，故 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内无极值点．
由 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=-5, \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=5$ 知，$f(x)$ 在 $x=0$ 处达到极大值，所以 $f(x)$ 的极大值点为 $x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析方程形式并构造函数
将原方程 $2 - \sin x + y^3 e^{-y} = 0$ 改写为 $y^3 e^{-y} = \sin x - 2$。定义函数 $g(y) = y^3 e^{-y}$，则问题转化为对每个 $x$，方程 $g(y) = \sin x - 2$ 有唯一解 $y = y(x)$。
公式：$g(y) = y^3 e^{-y}$
提示：注意方程变形时符号的正确性。
步骤 2/7
目标：研究函数 $g(y)$ 的单调性和值域
计算导数 $g'(y) = y^2 (3 - y) e^{-y}$。分析单调区间：当 $y < 0$ 时，$g'(y) > 0$，$g$ 严格递增；当 $0 < y < 3$ 时，$g'(y) > 0$，$g$ 严格递增；当 $y > 3$ 时，$g'(y) < 0$，$g$ 严格递减。计算关键点：$g(0)=0$，$g(3)=27e^{-3} > 1$，且 $\lim_{y \to -\infty} g(y) = -\infty$，$\lim_{y \to +\infty} g(y) = 0$。因此 $g(y)$ 的值域为 $(-\infty, g(3)]$。
公式：$g'(y) = y^2 (3 - y) e^{-y}$
提示：注意 $y=0$ 处导数为0，但单调性不变，因为 $y^2$ 非负。
步骤 3/7
目标：证明解的存在唯一性
由于 $\sin x - 2 \in [-3, -1] \subset (-\infty, g(3)]$，且 $g(y)$ 在区间 $I = \{y \mid g(y) \in [-3, -1]\}$ 上严格单调递增（实际上 $I \subset (-\infty, 0)$ 或 $(0,3)$ 的一部分，但可验证 $I$ 包含在 $(-\infty,0)$ 内，因为 $g(0)=0 > -1$，故 $I \subset (-\infty,0)$，而 $g$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递增），由介值定理，对每个 $x$ 存在唯一 $y$ 满足 $g(y) = \sin x - 2$。因此隐函数 $y = y(x)$ 存在且唯一。
提示：需要确认 $\sin x - 2$ 的值域完全落在 $g(y)$ 的单调区间内。
步骤 4/7
目标：证明隐函数连续可微
由于 $g(y)$ 在 $I$ 上严格单调且 $g'(y) > 0$，反函数 $g^{-1}$ 存在且连续可微。而 $y(x) = g^{-1}(\sin x - 2)$，其中 $\sin x - 2$ 是连续可微函数，复合函数连续可微，因此 $y(x)$ 连续可微。
公式：$y(x) = g^{-1}(\sin x - 2)$
提示：反函数定理要求导数非零，这里 $g'(y) > 0$ 满足条件。
步骤 5/7
目标：分析第二题中隐函数的存在唯一性
给定 $F(x,y) = x^2 y^3 + |x| y + y - 5$。当 $x=0$ 时，$F(0,y) = y - 5 = 0$ 得 $y=5$。对任意 $x \neq 0$，$F(x,y)$ 是关于 $y$ 的三次多项式，必有实根。计算 $F_y(x,y) = 3x^2 y^2 + |x| + 1 > 0$，故 $F$ 关于 $y$ 严格单调递增，因此对每个 $x$ 存在唯一的 $y = f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0$，且 $f(0)=5$。
公式：$F_y(x,y) = 3x^2 y^2 + |x| + 1$
提示：注意 $|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，但 $F_y$ 仍为正。
步骤 6/7
目标：求隐函数的导数并分析极值点
利用隐函数求导公式 $f'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$。当 $x>0$ 时，$F_x = 2x y^3 + y$，$f'(x) = -\frac{2x y^3 + y}{3x^2 y^2 + x + 1}$。由于 $y = f(x)$ 满足 $F=0$，可判断 $f'(x) \neq 0$（否则代入得矛盾），故 $(0,+\infty)$ 内无极值点。当 $x<0$ 时，$F_x = 2x y^3 - y$，$f'(x) = -\frac{2x y^3 - y}{3x^2 y^2 - x + 1}$，同样 $f'(x) \neq 0$，无极值点。
公式：$f'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$
提示：注意 $|x|$ 的导数在 $x>0$ 时为1，$x<0$ 时为-1。
步骤 7/7
目标：判断 $x=0$ 是否为极值点
计算 $x=0$ 处的左右导数。当 $x \to 0^+$ 时，$y \to 5$，$f'(x) \to -\frac{0+5}{0+0+1} = -5$；当 $x \to 0^-$ 时，$f'(x) \to -\frac{0-5}{0+0+1} = 5$。因此 $f'(0^-) > 0$，$f'(0^+) < 0$，由导数符号变化知 $x=0$ 是极大值点。
公式：$\lim_{x\to 0^+} f'(x) = -5$, $\lim_{x\to 0^-} f'(x) = 5$
提示：注意 $f$ 在 $x=0$ 处不可导，但极值点可以发生在不可导点。
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