下册 7.4 隐函数的微分 第3题
📝 题目
3．讨论下列各题．
（1）方程 $y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在哪些点的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $y=f(x)$ ．
（2）已知方程 $x^{2}+y-\cos (x y)=0$ ．
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 $(0,1)$ 附近确定函数 $y=y(x)$ ，且 $y(0)=1$ ．
（2）研究函数 $y=y(x)$ 在点 $(0,1)$ 附近的可微性．
（3）研究函数 $y=y(x)$ 在点 $(0,1)$ 附近的单调性．
（4）试问上述方程在点 $(0,1)$ 的充分小邻域内可否确定函数 $x=x(y), x(1)=0$ ？并说明理由．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F(x, y)=y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)$ ，则
$$
F_{x}(x, y)=-2 x+4 x^{3}, F_{y}(x, y)=2 y .
$$
因为 $F_{x}(x, y), F_{y}(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上连续，所以方程 $y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在满足条件 $y_{0} \neq 0, F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$的点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $y=f(x)$ ．
（2）令 $F(x, y)=x^{2}+y-\cos (x y)$ ，则
$$
F_{x}(x, y)=2 x+y \sin (x y), F_{y}(x, y)=1+x \sin (x y), F(0,1)=0, F_{y}(0,1)=1 \neq 0 .
$$
（1）因为 $F_{x}(x, y), F_{y}(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上连续，所以方程 $x^{2}+y-\cos (x y)=0$ 在点 $(0,1)$ 附近可唯一确定连续可导的隐函数 $y=y(x)$ ，且 $y(0)=1$ ．
（2）函数 $y=y(x)$ 在点 $(0,1)$ 附近可微，$\displaystyle y^{\prime}(x)=-\frac{F_{x}(x, y)}{F_{y}(x, y)}=-\frac{2 x+y \sin (x y)}{1+x \sin (x y)}$ ．
（3）函数 $y=y(x)$ 在点 $(0,1)$ 附近的单调性如下：当 $\delta$ 很小时，$\forall x \in(0, \delta), y^{\prime}(x)<0$ ，函数 $y=y(x)$ 单调减少；$\forall x \in(-\delta, 0), y^{\prime}(x)>0$ ，函数 $y=y(x)$ 单调增加．
（4）因为 $F_{x}(0,1)=0$ ，所以方程在点 $(0,1)$ 的充分小邻域内不能确定隐函数 $x=x(y), x(1)=0$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。