下册 7.4 隐函数的微分 第4题
📝 题目
4．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $y=y(x)$ 由 $\mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e}=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 。
（3）设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{x y}=2^{x} 3^{y}$ 确定的隐函数，计算 $(y-\ln 2) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}$ 。重庆大学 2006）
💡 答案解析
解题过程：
（1）在方程 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\arctan \frac{y}{x}$ 两边对 $x$ 求导得
$$
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left(2 x+2 y y^{\prime}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}\left(x y^{\prime}-y\right)
$$
所以
$$
y^{\prime}=\frac{x+y}{x-y}(x \neq y)
$$
在 $x+y y^{\prime}=y^{\prime} x-y$ 两边求导得
于是
$$
\begin{aligned}
& 1+\left(y^{\prime}\right)^{2}+y y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime \prime} x+y^{\prime}\right)-y^{\prime}, \text { 即 } 1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=y^{\prime \prime}(x-y) . \\
& y^{\prime \prime}=\frac{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}{x-y}=\frac{1}{x-y}\left[1+\left(\frac{x+y}{x-y}\right)^{2}\right]=2 \frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)^{3}} .
\end{aligned}
$$
（2）在方程 $\mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e}=0$ 两边对 $x$ 求导得
$$
\mathrm{e}^{y} y^{\prime}+y+x y^{\prime}=0
$$
所以 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac{y}{x+\mathrm{e}^{y}}$ ．
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(-\frac{y}{x+\mathrm{e}^{y}}\right)=-\frac{y^{\prime}\left(x+\mathrm{e}^{y}\right)-y\left(1+\mathrm{e}^{y} y^{\prime}\right)}{\left(x+\mathrm{e}^{y}\right)^{2}}=\frac{2 y}{\left(x+\mathrm{e}^{y}\right)^{2}}-\frac{y^{2} \mathrm{e}^{y}}{\left(x+\mathrm{e}^{y}\right)^{3}} .
$$
（3）变方程 $\mathrm{e}^{x y}=2^{x} 3^{y}$ 为
方程两边对 $x$ 求导得即
$$
\begin{aligned}
& x y=x \ln 2+y \ln 3 . \\
& y+x y^{\prime}=\ln 2+y^{\prime} \ln 3, \\
& y-\ln 2=y^{\prime}(\ln 3-x) . \\
& 2 y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=y^{\prime \prime} \ln 3, \\
& 2 y^{\prime}=y^{\prime \prime}(\ln 3-x) .
\end{aligned}
$$
上式两边再对 $x$ 求导得
即
于是
$$
(y-\ln 2) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}=y^{\prime}(\ln 3-x) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}=y^{\prime}\left(2 y^{\prime}\right)-2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简方程（1）
给定方程 $\frac{1}{2} \ln(x^2+y^2) = \arctan\frac{y}{x}$。两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。左边导数为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2x+2yy'}{x^2+y^2} = \frac{x+yy'}{x^2+y^2}$。右边导数为 $\frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{xy'-y}{x^2} = \frac{xy'-y}{x^2+y^2}$。因此 $x+yy' = xy' - y$，整理得 $y' = \frac{x+y}{x-y}$。
公式：$\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$，$\frac{d}{dx}\arctan v = \frac{v'}{1+v^2}$
提示：注意复合函数求导时，$y$ 是 $x$ 的函数，$y'$ 会出现。
步骤 2/7
目标：求二阶导数（1）
对 $x+yy' = xy' - y$ 两边再对 $x$ 求导：左边导数为 $1 + (y')^2 + yy''$，右边导数为 $y' + xy'' - y' = xy''$。因此 $1 + (y')^2 + yy'' = xy''$，即 $1 + (y')^2 = (x-y)y''$。代入 $y' = \frac{x+y}{x-y}$ 得 $y'' = \frac{1+(\frac{x+y}{x-y})^2}{x-y} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}$。
公式：$\frac{d}{dx}(yy') = (y')^2 + yy''$
提示：注意 $\frac{d}{dx}(xy') = y' + xy''$，不要漏项。
步骤 3/7
目标：求一阶导数（2）
给定方程 $e^y + xy - e = 0$。两边对 $x$ 求导：$e^y y' + y + xy' = 0$，解得 $y' = -\frac{y}{x+e^y}$。
公式：$\frac{d}{dx}e^y = e^y y'$，$\frac{d}{dx}(xy) = y + xy'$
提示：注意常数 $e$ 的导数为0。
步骤 4/7
目标：求二阶导数（2）
对 $y' = -\frac{y}{x+e^y}$ 两边对 $x$ 求导：$y'' = -\frac{y'(x+e^y) - y(1+e^y y')}{(x+e^y)^2}$。代入 $y' = -\frac{y}{x+e^y}$ 化简得 $y'' = \frac{2y}{(x+e^y)^2} - \frac{y^2 e^y}{(x+e^y)^3}$。
公式：商的求导法则：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
提示：代入 $y'$ 后要仔细化简，注意符号。
步骤 5/7
目标：化简方程（3）
给定方程 $e^{xy} = 2^x 3^y$。两边取自然对数得 $xy = x\ln 2 + y\ln 3$。两边对 $x$ 求导：$y + xy' = \ln 2 + y'\ln 3$，整理得 $y - \ln 2 = y'(\ln 3 - x)$。
公式：$\ln(e^{xy}) = xy$，$\ln(2^x 3^y) = x\ln 2 + y\ln 3$
提示：注意 $\ln 2$ 和 $\ln 3$ 是常数。
步骤 6/7
目标：求二阶导数（3）
对 $y + xy' = \ln 2 + y'\ln 3$ 两边再对 $x$ 求导：$y' + y' + xy'' = y''\ln 3$，即 $2y' + xy'' = y''\ln 3$，整理得 $2y' = y''(\ln 3 - x)$。
公式：$\frac{d}{dx}(xy') = y' + xy''$
提示：注意 $y'$ 的导数项。
步骤 7/7
目标：计算表达式（3）
由 $y - \ln 2 = y'(\ln 3 - x)$ 和 $2y' = y''(\ln 3 - x)$，可得 $(y-\ln 2)y'' = y'(\ln 3 - x)y'' = y'(2y') = 2(y')^2$。因此 $(y-\ln 2)y'' - 2(y')^2 = 0$。
公式：代入消元
提示：注意 $y-\ln 2$ 与 $y'(\ln 3 - x)$ 的关系。
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