下册 7.4 隐函数的微分 第5题
📝 题目
5．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $y=y(x)$ 是可微函数，且满足 $y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$ ，求 $y^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 所确定的隐函数，求 $y^{\prime}$ 及 $y^{\prime}(0),\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}$ 。
（3）求由方程 $\mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数，并计算 $y^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）将 $x=0$ 代人原方程得 $y(0)=0$ ．方程 $y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$ 两边关于 $x$ 求导得
$$
y^{\prime}=-y^{\prime} \mathrm{e}^{x}-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \cos x+2 y^{\prime} \mathrm{e}^{y} \sin x-7
$$
再将 $x=0, y=0$ 代人上式得 $y^{\prime}(0)=-y^{\prime}(0)+2-7$ ．故 $\displaystyle y^{\prime}(0)=-\frac{5}{2}$ ．
（2）将 $x=0$ 代人原方程 $2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 得 $y(0)=1$ ．方程 $2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 两边对 $x$ 求导得
$$
2-\mathrm{e}^{-y^{2}} y^{\prime}=y+x y^{\prime} .
$$
所以 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{2-y}{x+\mathrm{e}^{-y^{2}}}, y^{\prime}(0)=\mathrm{e},\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=y^{\prime}(0) \mathrm{d} x=\mathrm{ed} x$ ．
（3）将 $x=0$ 代人原方程 $\mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 得 $y(0)=1$ ．方程 $\mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 两边对 $x$ 求导得
$$
\mathrm{e}^{x}+\cos x y\left(y+x y^{\prime}\right)-y^{\prime} \mathrm{e}^{y}-y-x y^{\prime}=0
$$
所以 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{\mathrm{e}^{x}-y+y \cos (x y)}{x+\mathrm{e}^{y}-x \cos (x y)}, y^{\prime}(0)=\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定初始条件
将 $x=0$ 代入原方程 $y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$，得 $y(0) = -y(0) \cdot 1 + 2 \mathrm{e}^{y(0)} \cdot 0 - 0$，即 $y(0) = -y(0)$，解得 $y(0)=0$。
提示：注意代入时 $\sin 0=0$，$\mathrm{e}^0=1$。
步骤 2/8
目标：方程两边求导
对原方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$y' = -y' \mathrm{e}^{x} - y \mathrm{e}^{x} + 2 \mathrm{e}^{y} \cos x + 2 y' \mathrm{e}^{y} \sin x - 7.$$
公式：$(uv)' = u'v + uv'$，$(\mathrm{e}^y)' = \mathrm{e}^y y'$，$(\sin x)' = \cos x$。
提示：注意 $2 \mathrm{e}^{y} \sin x$ 的导数：先对 $\mathrm{e}^y$ 求导得 $\mathrm{e}^y y'$，再乘以 $2\sin x$，加上 $\mathrm{e}^y$ 乘以 $2\cos x$。
步骤 3/8
目标：代入初始条件求导数值
将 $x=0$，$y=0$ 代入求导后的方程：
$$y'(0) = -y'(0) - 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 0 - 7 = -y'(0) + 2 - 7 = -y'(0) - 5.$$
解得 $2y'(0) = -5$，故 $y'(0) = -\frac{5}{2}$。
提示：代入时注意 $\cos 0=1$，$\sin 0=0$，$\mathrm{e}^0=1$。
步骤 4/8
目标：确定第二题初始条件
将 $x=0$ 代入方程 $2x - \int_1^y \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t = xy$，得 $0 - \int_1^{y(0)} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t = 0$，即 $\int_1^{y(0)} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t = 0$，所以 $y(0)=1$。
提示：注意积分上限为 $y$，当 $x=0$ 时右边为0，左边积分值为0意味着上下限相等。
步骤 5/8
目标：第二题方程两边求导
对 $2x - \int_1^y \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t = xy$ 两边关于 $x$ 求导，利用变上限积分求导公式：
$$2 - \mathrm{e}^{-y^2} \cdot y' = y + x y'.$$
公式：$\frac{d}{dx} \int_1^{y(x)} f(t) dt = f(y(x)) \cdot y'(x)$。
提示：注意右边 $xy$ 的导数为 $y + x y'$。
步骤 6/8
目标：解出第二题导数表达式并求值
由 $2 - \mathrm{e}^{-y^2} y' = y + x y'$，移项得 $2 - y = (x + \mathrm{e}^{-y^2}) y'$，所以
$$y' = \frac{2-y}{x + \mathrm{e}^{-y^2}}.$$
代入 $x=0, y=1$ 得 $y'(0) = \frac{2-1}{0 + \mathrm{e}^{-1}} = \mathrm{e}$。
微分 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=0} = y'(0) \mathrm{d}x = \mathrm{e} \mathrm{d}x$。
提示：注意 $\mathrm{e}^{-y^2}$ 在 $y=1$ 时为 $\mathrm{e}^{-1}$，分母不为零。
步骤 7/8
目标：确定第三题初始条件
将 $x=0$ 代入方程 $\mathrm{e}^{x} + \sin(xy) - \mathrm{e}^{y} - xy = 1 - \mathrm{e}$，得 $\mathrm{e}^0 + \sin(0) - \mathrm{e}^{y(0)} - 0 = 1 - \mathrm{e}$，即 $1 - \mathrm{e}^{y(0)} = 1 - \mathrm{e}$，所以 $\mathrm{e}^{y(0)} = \mathrm{e}$，故 $y(0)=1$。
提示：注意 $\sin 0=0$，$\mathrm{e}^0=1$。
步骤 8/8
目标：第三题方程两边求导并代入求值
对原方程两边关于 $x$ 求导：
$$\mathrm{e}^{x} + \cos(xy) \cdot (y + x y') - \mathrm{e}^{y} y' - (y + x y') = 0.$$
整理得 $\mathrm{e}^{x} - y + y \cos(xy) = (x + \mathrm{e}^{y} - x \cos(xy)) y'$，所以
$$y' = \frac{\mathrm{e}^{x} - y + y \cos(xy)}{x + \mathrm{e}^{y} - x \cos(xy)}.$$
代入 $x=0, y=1$ 得 $y'(0) = \frac{1 - 1 + 1 \cdot \cos 0}{0 + \mathrm{e} - 0} = \frac{1}{\mathrm{e}}$。
公式：$(\sin u)' = \cos u \cdot u'$，$(\mathrm{e}^y)' = \mathrm{e}^y y'$。
提示：注意 $\sin(xy)$ 的导数为 $\cos(xy) \cdot (y + x y')$，$xy$ 的导数为 $y + x y'$。
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