下册 7.4 隐函数的微分 第6题
📝 题目
6．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1） $\mathrm{e}^{-x y}-2 x+\mathrm{e}^{z}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
（2） $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
（3）$\displaystyle \frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方程 $\mathrm{e}^{-x y}-2 x+\mathrm{e}^{z}=0$ 两边对 $x$ 求偏导数得
$$
-y \mathrm{e}^{-x y}-2+\mathrm{e}^{z} z_{x}=0 \text {. 即 } z_{x}=\frac{2+y \mathrm{e}^{-x y}}{\mathrm{e}^{z}} \text {. }
$$
在方程 $-y \mathrm{e}^{-x y}-2+\mathrm{e}^{z} z_{x}=0$ 两边再对 $x$ 求偏导数得
所以
$$
\begin{gathered}
y^{2} \mathrm{e}^{-x y}+\mathrm{e}^{z} z_{x}^{2}+\mathrm{e}^{z} z_{x x}=0 \\
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=z_{x x}=-\frac{y^{2} \mathrm{e}^{-x y}+\mathrm{e}^{z} z_{x}^{2}}{\mathrm{e}^{z}}=-y^{2} \mathrm{e}^{-x y-z}-\left(2+y \mathrm{e}^{-x y}\right)^{2} \mathrm{e}^{-2 z}
\end{gathered} .
$$
（2）方程 $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
\mathrm{e}^{z} z_{x}-y z-x y z_{x}=0, \mathrm{e}^{z} z_{y}-x z-x y z_{y}=0
$$
解得 $\displaystyle z_{x}=\frac{y z}{\mathrm{e}^{z}-x y}, z_{y}=\frac{x z}{\mathrm{e}^{z}-x y}$ ．
方程 $\left(\mathrm{e}^{z}-x y\right) z_{x}=y z$ 两边再对 $y$ 求偏导数得
$$
\begin{aligned}
& \left(\mathrm{e}^{z} z_{y}-x\right) z_{x}+\left(\mathrm{e}^{z}-x y\right) z_{x y}=z+y z_{y} \\
& \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=z_{x y}=\frac{z+y z_{y}-\left(\mathrm{e}^{z} z_{y}-x\right) z_{x}}{\mathrm{e}^{z}-x y}=\frac{z}{\mathrm{e}^{z}-x y}+\frac{2 x y z}{\left(\mathrm{e}^{z}-x y\right)^{2}}-\frac{x y z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\left(\mathrm{e}^{z}-x y\right)^{3}}
\end{aligned}
$$
于是
$$
\frac{z \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} z}{z^{2}}=\frac{y}{z} \frac{y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} y}{y^{2}}
$$
化简得
$$
z y \mathrm{~d} x-x y \mathrm{~d} z-y z \mathrm{~d} z-z^{2} \mathrm{~d} y=0 .
$$
再微分得
$$
y(x+z) \mathrm{d}^{2} z=z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+(z \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d} y) \mathrm{d} z-y^{2} \mathrm{~d} z^{2}=0 .
$$
所以
$$
\mathrm{d}^{2} z=-\frac{z^{2}}{y^{2}(x+z)^{3}}\left(y^{2} \mathrm{~d} x^{2}-2 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} y^{2}\right)
$$
于是
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{2 x y z^{2}}{y^{2}(x+z)^{3}}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：对原方程两边关于x求偏导
方程 $e^{-xy} - 2x + e^z = 0$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x$ 的函数，得到：
$$-y e^{-xy} - 2 + e^z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
公式：隐函数求导法则
提示：注意 $e^{-xy}$ 对 $x$ 求导时，$y$ 视为常数，结果为 $-y e^{-xy}$；$e^z$ 对 $x$ 求导得 $e^z \frac{\partial z}{\partial x}$。
步骤 2/8
目标：解出一阶偏导数
由上式解得：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2 + y e^{-xy}}{e^z}$$
提示：注意符号：移项时 $-2$ 移到右边变正。
步骤 3/8
目标：对一阶偏导方程再次关于x求偏导
对 $-y e^{-xy} - 2 + e^z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 两边再对 $x$ 求偏导，注意 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 也是 $x$ 的函数：
$$y^2 e^{-xy} + e^z \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + e^z \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0$$
公式：乘积法则
提示：对 $e^z \frac{\partial z}{\partial x}$ 求导时，先对 $e^z$ 求导得 $e^z \frac{\partial z}{\partial x}$，再乘以 $\frac{\partial z}{\partial x}$，再加上 $e^z$ 乘以 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。
步骤 4/8
目标：解出二阶偏导数
由上式解得：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{y^2 e^{-xy} + e^z \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}{e^z} = -y^2 e^{-xy - z} - \left(2 + y e^{-xy}\right)^2 e^{-2z}$$
提示：代入 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的表达式时要小心，化简时注意指数运算。
步骤 5/8
目标：对原方程两边关于x和y求偏导（第二题）
方程 $e^z - xyz = 0$ 两边对 $x$ 求偏导：
$$e^z \frac{\partial z}{\partial x} - yz - xy \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
对 $y$ 求偏导：
$$e^z \frac{\partial z}{\partial y} - xz - xy \frac{\partial z}{\partial y} = 0$$
公式：隐函数求导法则
提示：注意 $xyz$ 对 $x$ 求导时，$y$ 视为常数，$z$ 是 $x$ 的函数，使用乘积法则。
步骤 6/8
目标：解出一阶偏导数
由上述两式解得：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{e^z - xy}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{e^z - xy}$$
提示：注意分母相同，且 $e^z - xy \neq 0$。
步骤 7/8
目标：对一阶偏导方程关于y求偏导
对 $(e^z - xy) \frac{\partial z}{\partial x} = yz$ 两边对 $y$ 求偏导，注意 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $z$ 都是 $y$ 的函数：
$$\left(e^z \frac{\partial z}{\partial y} - x\right) \frac{\partial z}{\partial x} + (e^z - xy) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = z + y \frac{\partial z}{\partial y}$$
公式：乘积法则
提示：左边第一项：对 $(e^z - xy)$ 关于 $y$ 求导得 $e^z \frac{\partial z}{\partial y} - x$，再乘以 $\frac{\partial z}{\partial x}$；第二项：$(e^z - xy)$ 乘以 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。右边：$yz$ 对 $y$ 求导得 $z + y \frac{\partial z}{\partial y}$。
步骤 8/8
目标：解出混合偏导数
由上式解得：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{z + y \frac{\partial z}{\partial y} - \left(e^z \frac{\partial z}{\partial y} - x\right) \frac{\partial z}{\partial x}}{e^z - xy}$$
代入一阶偏导表达式并化简得：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{z}{e^z - xy} + \frac{2xyz}{(e^z - xy)^2} - \frac{xy z^2 e^z}{(e^z - xy)^3}$$
提示：化简过程较繁琐，注意通分和合并同类项。
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