下册 7.4 隐函数的微分 第7题
📝 题目
7．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）方程 $z^{2} x-z^{3} y+y-1=0$ 在 $(1,2,1)$ 附近确定隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $z_{x x}(1,2)$ ．
（2）方程 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 在 $(1,-2,1)$ 附近确定隐函数 $z=z(x, y)$ ，并求 $z_{x y}(1,-2)$ 的值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方程 $z^{2} x-z^{3} y+y-1=0$ 两边对 $x$ 求偏导数得
$$
z^{2}+2 x z z_{x}-3 y z^{2} z_{x}=0 \text {. 即 } z_{x}=\frac{z}{3 y z-2 x}, z_{x}(1,2)=\frac{1}{4} \text {. }
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& z_{x x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z}{3 y z-2 x}\right)=\frac{(3 y z-2 x) z_{x}-z\left(3 y z_{x}-2\right)}{(3 y z-2 x)^{2}}=\frac{-2 x z_{x}+2 z}{(3 y z-2 x)^{2}} . \\
& z_{x x}(1,2)=\frac{3}{32} .
\end{aligned}
$$
（2）方程 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 两边对 $x$ 求偏导数得
$$
2 x+6 z^{2} z_{x}+2 y-z_{x}=0
$$
把 $(1,-2,1)$ 代人上式得 $2+6 z_{x}-4-z_{x}=0$ ．故 $\displaystyle z_{x}=\frac{2}{5}$ ．
方程 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 两边对 $y$ 求偏导数得
$$
4 y+6 z^{2} z_{y}+2 x-z_{y}=0
$$
把 $(1,-2,1)$ 代人上式得 $-8+6 z_{y}+2-z_{y}=0$ ．故 $\displaystyle z_{y}=\frac{6}{5}$ ．
方程 $2 x+6 z^{2} z_{x}+2 y-z_{x}=0$ 两边对 $y$ 求偏导得
$$
12 z z_{y} z_{x}+6 z^{2} z_{x y}+2-z_{x y}=0
$$
把 $(1,-2,1)$ 代人上式得 $\displaystyle 12 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{6}{5}+6 z_{x y}+2-z_{x y}=0$ ，于是 $\displaystyle z_{x y}(1,-2)=-\frac{194}{125}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：对原方程两边关于x求偏导
方程 $z^{2} x - z^{3} y + y - 1 = 0$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，得到：
$$\frac{\partial}{\partial x}(z^2 x) - \frac{\partial}{\partial x}(z^3 y) + \frac{\partial}{\partial x}(y) - \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0$$
计算各项：
$\frac{\partial}{\partial x}(z^2 x) = z^2 + 2xz z_x$（乘积法则）
$\frac{\partial}{\partial x}(z^3 y) = 3yz^2 z_x$（$y$视为常数）
$\frac{\partial}{\partial x}(y) = 0$，$\frac{\partial}{\partial x}(1)=0$
因此：
$$z^2 + 2xz z_x - 3yz^2 z_x = 0$$
公式：隐函数求导法则：$F(x,y,z)=0$，则 $z_x = -F_x/F_z$
提示：注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，对 $x$ 求导时 $z$ 要视为中间变量，使用链式法则。
步骤 2/8
目标：解出 $z_x$ 并代入点 $(1,2,1)$ 求值
由 $z^2 + 2xz z_x - 3yz^2 z_x = 0$，提取 $z_x$：
$$z^2 + (2xz - 3yz^2) z_x = 0$$
解得：
$$z_x = \frac{-z^2}{2xz - 3yz^2} = \frac{z}{3yz - 2x}$$
代入点 $(1,2,1)$：$x=1, y=2, z=1$，得：
$$z_x(1,2) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1 - 2\cdot1} = \frac{1}{6-2} = \frac{1}{4}$$
提示：代入数值时要仔细计算分母，避免算术错误。
步骤 3/8
目标：对 $z_x$ 的表达式再对 $x$ 求偏导得到 $z_{xx}$
已知 $z_x = \frac{z}{3yz - 2x}$，对 $x$ 求偏导（注意 $z$ 和 $z_x$ 都是 $x$ 的函数）：
$$z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z}{3yz - 2x}\right) = \frac{(3yz - 2x) z_x - z \cdot (3y z_x - 2)}{(3yz - 2x)^2}$$
分子化简：
$$(3yz - 2x)z_x - 3yz z_x + 2z = -2x z_x + 2z$$
因此：
$$z_{xx} = \frac{-2x z_x + 2z}{(3yz - 2x)^2}$$
公式：商的求导法则：$(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$
提示：注意分母中的 $3yz$ 对 $x$ 求导时，$z$ 是函数，导数为 $3y z_x$，不要遗漏。
步骤 4/8
目标：代入点 $(1,2,1)$ 和 $z_x(1,2)=1/4$ 计算 $z_{xx}(1,2)$
代入 $x=1, y=2, z=1, z_x=1/4$：
$$z_{xx}(1,2) = \frac{-2\cdot1\cdot\frac{1}{4} + 2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1 - 2\cdot1)^2} = \frac{-\frac{1}{2} + 2}{(6-2)^2} = \frac{\frac{3}{2}}{16} = \frac{3}{32}$$
提示：计算时注意分数运算，先通分再化简。
步骤 5/8
目标：对第二个方程两边关于x求偏导，并代入点求 $z_x$
方程 $x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy - z = 7$ 两边对 $x$ 求偏导：
$$2x + 6z z_x + 2y - z_x = 0$$
代入点 $(1,-2,1)$：$2\cdot1 + 6\cdot1\cdot z_x + 2\cdot(-2) - z_x = 0$，即 $2 + 6z_x -4 - z_x = 0$，解得 $5z_x = 2$，故 $z_x = \frac{2}{5}$。
提示：注意 $2xy$ 对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数，导数为 $2y$。
步骤 6/8
目标：对第二个方程两边关于y求偏导，并代入点求 $z_y$
方程两边对 $y$ 求偏导：
$$4y + 6z z_y + 2x - z_y = 0$$
代入点 $(1,-2,1)$：$4\cdot(-2) + 6\cdot1\cdot z_y + 2\cdot1 - z_y = 0$，即 $-8 + 6z_y + 2 - z_y = 0$，解得 $5z_y = 6$，故 $z_y = \frac{6}{5}$。
提示：注意 $2y^2$ 对 $y$ 求导得 $4y$，$2xy$ 对 $y$ 求导得 $2x$。
步骤 7/8
目标：对 $z_x$ 的方程两边关于y求偏导，得到 $z_{xy}$ 的方程
由 $2x + 6z z_x + 2y - z_x = 0$ 两边对 $y$ 求偏导（注意 $z$ 和 $z_x$ 都是 $y$ 的函数）：
$$0 + 6z_y z_x + 6z z_{xy} + 2 - z_{xy} = 0$$
整理得：
$$6z_y z_x + (6z - 1) z_{xy} + 2 = 0$$
公式：乘积法则：$(uv)_y = u_y v + u v_y$
提示：对 $6z z_x$ 求导时，使用乘积法则：$6(z_y z_x + z z_{xy})$。
步骤 8/8
目标：代入已知值求解 $z_{xy}(1,-2)$
代入点 $(1,-2,1)$ 及 $z_x=2/5, z_y=6/5$：
$$6\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{2}{5} + (6\cdot1 - 1) z_{xy} + 2 = 0$$
计算：$6\cdot\frac{12}{25} = \frac{72}{25}$，$6\cdot1-1=5$，所以：
$$\frac{72}{25} + 5 z_{xy} + 2 = 0$$
即 $5 z_{xy} = -2 - \frac{72}{25} = -\frac{50}{25} - \frac{72}{25} = -\frac{122}{25}$，故 $z_{xy} = -\frac{122}{125}$。
提示：注意分数运算，通分后计算，避免符号错误。
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