下册 7.4 隐函数的微分 第8题
📝 题目
8．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）已知 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 所确定的隐函数，且 $h(z)$ 具有所需性质，求 $z_{x y}$ ．
（2）已知 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^{2}+y^{2}+\mathrm{e}^{h(z)}=1$ 所确定的隐函数，且 $h(z)$ 具有所需性质，求 $z_{x y}$ 。
（3）已知 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z=x y z$ 所确定的隐函数，求 $z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．
（4）$f(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $z_{x x}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）在 $x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 两边关于 $x$ 求偏导数得 $2 x+2 h(z) h^{\prime}(z) z_{x}=0$ ，即 $\displaystyle z_{x}=-\frac{x}{h(z) h^{\prime}(z)}$ ．
同理可得 $\displaystyle z_{y}=-\frac{y}{h(z) h^{\prime}(z)}$ ．
故 $\displaystyle z_{x y}=-x \frac{h^{\prime 2}(z) z_{y}+h(z) h^{\prime \prime}(z) z_{y}}{\left(h(z) h^{\prime}(z)\right)^{2}}=\frac{h^{\prime 2}(z)+h(z) h^{\prime \prime}(z)}{\left(h(z) h^{\prime}(z)\right)^{3}} x y$ ．
（2）在 $x^{2}+y^{2}+\mathrm{e}^{h(z)}=1$ 两边关于 $x$ 求偏导数得 $2 x+\mathrm{e}^{h(z)} h^{\prime}(z) z_{x}=0$ ，即 $\displaystyle z_{x}=-\frac{2 x \mathrm{e}^{-h(z)}}{h^{\prime}(z)}$ ．
同理可得 $\displaystyle z_{y}=-\frac{2 y \mathrm{e}^{-h(z)}}{h^{\prime}(z)}$ ．
故 $\displaystyle z_{x y}=-2 x \frac{-\mathrm{e}^{-h(z)} h^{\prime 2}(z) z_{y}-\mathrm{e}^{-h(z)} h^{\prime \prime}(z) z_{y}}{\left(h^{\prime}(z)\right)^{2}}=2 x \mathrm{e}^{-h(z)} \frac{h^{\prime 2}(z)+h^{\prime \prime}(z)}{\left(h^{\prime}(z)\right)^{2}} z_{y}=-4 x y \mathrm{e}^{-2 h(z)} \frac{h^{\prime 2}(z)+h^{\prime \prime}(z)}{\left(h^{\prime}(z)\right)^{3}}$ ．
（3）在 $x+y+z=x y z$ 两边对 $x$ 求导得 $1+z_{x}=y\left(x z_{x}+z\right)$ ，即 $\displaystyle z_{x}=\frac{y z-1}{1-x y}$ ．
同理可得 $\displaystyle z_{y}=\frac{x z-1}{1-x y}$ ．
在 $1+z_{x}=y\left(x z_{x}+z\right)$ 两边对 $x$ 求导得 $z_{x x}=y\left(z_{x}+x z_{x x}+z_{x}\right)$ ，即 $\displaystyle z_{x x}=\frac{2 y(y z-1)}{(1-x \dot{y})^{2}}$ ．
同理可得 $\displaystyle z_{y y}=\frac{2 x(x z-1)}{(1-x y)^{2}}, z_{x y}=\frac{2 x}{(1-x y)^{2}}$ ．
（4）由 $f(x, x+y, x+y+z)=0$ 得 $\displaystyle z_{x}=-\frac{1}{f_{3}}\left(f_{1}+f_{2}+f_{3}\right), z_{y}=-\frac{1}{f_{3}}\left(f_{2}+f_{3}\right)$ 。则
$$
\begin{aligned}
z_{x x} & =-\frac{1}{f_{3}}\left[f_{11}+f_{12}+\left(1+\frac{\partial z}{\partial x}\right) f_{13}+f_{21}+f_{22}+\left(1+\frac{\partial z}{\partial x}\right) f_{23}\right]+\frac{f_{1}+f_{2}}{f_{3}^{2}}\left[f_{31}+f_{32}+\left(1+\frac{\partial z}{\partial x}\right) f_{33}\right] \\
& =-\frac{1}{f_{3}^{3}}\left[f_{3}^{2}\left(f_{11}+2 f_{12}+f_{22}\right)-2 f_{3}\left(f_{1}+f_{2}\right)\left(f_{13}+f_{23}\right)+\left(f_{1}+f_{2}\right)^{2} f_{33}\right]
\end{aligned}
$$
其中 $f_{i}$ 表示函数 $f$ 对第 $i$ 个中间变量的偏导数，$f_{i j}$ 分别表示函数 $f_{i}$ 对第 $j$ 个中间变量的偏导数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对原方程两边关于x求偏导
方程 $x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，得到 $2x + 2h(z)h'(z)z_x = 0$。
公式：$\frac{\partial}{\partial x}[x^2+y^2+h^2(z)] = 2x + 2h(z)h'(z)z_x = 0$
提示：注意 $h^2(z)$ 对 $x$ 求导时要用链式法则：$2h(z)h'(z)z_x$。
步骤 2/5
目标：解出 $z_x$
由 $2x + 2h(z)h'(z)z_x = 0$ 解得 $z_x = -\frac{x}{h(z)h'(z)}$。
公式：$z_x = -\frac{x}{h(z)h'(z)}$
提示：分母 $h(z)h'(z)$ 不能为零，否则隐函数定理失效。
步骤 3/5
目标：类似地求出 $z_y$
方程两边对 $y$ 求偏导得 $2y + 2h(z)h'(z)z_y = 0$，解得 $z_y = -\frac{y}{h(z)h'(z)}$。
公式：$z_y = -\frac{y}{h(z)h'(z)}$
提示：对称性可减少计算量。
步骤 4/5
目标：求 $z_{xy}$：对 $z_x$ 关于 $y$ 求偏导
$z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{h(z)h'(z)}\right) = -x \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{h(z)h'(z)}\right)$。令 $g(z) = h(z)h'(z)$，则 $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{g(z)}\right) = -\frac{g'(z)z_y}{g(z)^2}$。而 $g'(z) = h'(z)^2 + h(z)h''(z)$。代入得 $z_{xy} = -x \left(-\frac{(h'(z)^2 + h(z)h''(z))z_y}{(h(z)h'(z))^2}\right) = \frac{x(h'(z)^2 + h(z)h''(z))z_y}{(h(z)h'(z))^2}$。
公式：$z_{xy} = \frac{x(h'(z)^2 + h(z)h''(z))z_y}{(h(z)h'(z))^2}$
提示：注意对复合函数求导时，$g(z)$ 对 $y$ 的导数要用链式法则。
步骤 5/5
目标：代入 $z_y$ 化简
将 $z_y = -\frac{y}{h(z)h'(z)}$ 代入上式得 $z_{xy} = \frac{x(h'(z)^2 + h(z)h''(z))}{(h(z)h'(z))^2} \cdot \left(-\frac{y}{h(z)h'(z)}\right) = -\frac{xy(h'(z)^2 + h(z)h''(z))}{(h(z)h'(z))^3}$。
公式：$z_{xy} = -\frac{xy(h'(z)^2 + h(z)h''(z))}{(h(z)h'(z))^3}$
提示：最终结果中分母是三次方，注意符号。
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