下册 7.4 隐函数的微分 第9题
📝 题目
9．求由下列方程所确定的隐函数的微分．
（1）设函数 $u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数，且 $z=z(x, y)$ 由方程 $x \mathrm{e}^{x}-y \mathrm{e}^{y}=z \mathrm{e}^{z}$ 所确定，求 $\mathrm{d} u$ ．
（2）设 $u=f(x, z)$ ，而 $z(x, y)$ 由 $z=x+y \varphi(z)$ 所确定，求 $\mathrm{d} u$ 。
（3）设函数 $f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，又设 $y=y(x)$ 是由方程 $f\left(x y^{2}, x+y\right)=0$ 所确定的隐函数．（1）求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ；（2）当 $f(u, v)=u e^{v}+v$ 时，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
（4）设 $f(u, v, w)$ 可微，$f_{2}^{\prime}-f_{3}^{\prime} \neq 0$ ，方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\mathrm{d} z$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方程 $x \mathrm{e}^{x}-y \mathrm{e}^{y}=z \mathrm{e}^{z}$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}=z_{x} \mathrm{e}^{z}+z \mathrm{e}^{z} \cdot z_{x},-\mathrm{e}^{y}-y \mathrm{e}^{y}=z_{y} \mathrm{e}^{z}+z \mathrm{e}^{z} \cdot z_{y}
$$
于是 $\displaystyle z_{x}=\frac{1+x}{1+z} \mathrm{e}^{x-z}, z_{y}=-\frac{1+y}{1+z} \mathrm{e}^{y-z}$ ．所以
$$
u_{x}=f_{1}+f_{3} z_{x}, u_{y}=f_{2}+f_{3} z_{y} .
$$
故 $\displaystyle \quad \mathrm{d} u=u_{x} \mathrm{~d} x+u_{y} \mathrm{~d} y=\left(f_{1}+f_{3} z_{x}\right) \mathrm{d} x+\left(f_{2}+f_{3} z_{y}\right) \mathrm{d} y=\left(f_{1}+\frac{1+x}{1+z} \mathrm{e}^{x-z} f_{3}\right) \mathrm{d} x+\left(f_{2}-\frac{1+y}{1+z} \mathrm{e}^{y-z} f_{3}\right) \mathrm{d} y$ ．
（2）$z=x+y \varphi(z)$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
z_{x}=1+y \varphi^{\prime}(z) \cdot z_{x}, z_{y}=\varphi(z)+y \varphi^{\prime}(z) \cdot z_{y}
$$
于是 $\displaystyle z_{x}=\frac{1}{1-y \varphi^{\prime}(z)}, z_{y}=\frac{\varphi(z)}{1-y \varphi^{\prime}(z)}$ ．所以
$$
u_{x}=f_{1}+f_{2} z_{x}, u_{y}=f_{2} z_{y}
$$
故
$$
\mathrm{d} u=u_{x} \mathrm{~d} x+u_{y} \mathrm{~d} y=\left(f_{1}+f_{2} z_{x}\right) \mathrm{d} x+\left(f_{2} z_{y}\right) \mathrm{d} y=\left(f_{1}+\frac{1}{1-y \varphi^{\prime}(z)} f_{2}\right) \mathrm{d} x+\frac{\varphi(z)}{1-y \varphi^{\prime}(z)} f_{2} \mathrm{~d} y
$$
（3）方程 $f\left(x y^{2}, x+y\right)=0$ 两边对 $x$ 求导数得
$$
f_{1}\left(y^{2}+2 x y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)+f_{2}\left(1+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=0
$$
所以 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{y^{2} f_{1}+f_{2}}{2 x y f_{1}+f_{2}}$ ．
当 $f(u, v)=u \mathrm{e}^{v}+v$ 时，$f_{1}=\mathrm{e}^{v}, f_{2}=u \mathrm{e}^{v}+1$ ，所以
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{y^{2} f_{1}+f_{2}}{2 x y f_{1}+f_{2}}=-\frac{y^{2} \mathrm{e}^{x+y}+x y^{2} \mathrm{e}^{x+y}+1}{2 x y \mathrm{e}^{x+y}+x y^{2} \mathrm{e}^{x+y}+1} .
$$
（4）方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
f_{1}-f_{2} z_{x}+f_{3}\left(z_{x}-1\right)=0, \quad-f_{1}+f_{2}\left(1-z_{y}\right)+f_{3} z_{y}=0
$$
所以 $\displaystyle z_{x}=\frac{f_{3}-f_{1}}{f_{3}-f_{2}}, z_{y}=\frac{f_{1}-f_{2}}{f_{3}-f_{2}}$ ．于是
$$
\mathrm{d} z=z_{x} \mathrm{~d} x+z_{y} \mathrm{~d} y=\frac{f_{3}-f_{1}}{f_{3}-f_{2}} \mathrm{~d} x+\frac{f_{1}-f_{2}}{f_{3}-f_{2}} \mathrm{~d} y
$$
注：$f_{i}$ 表示函数 $f$ 对第 $i$ 个中间变量的偏导数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求隐函数z的偏导数
方程 $x e^{x} - y e^{y} = z e^{z}$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数：
$$\frac{\partial}{\partial x}(x e^{x}) - 0 = \frac{\partial}{\partial x}(z e^{z})$$
即 $e^{x} + x e^{x} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial x} + z e^{z} \frac{\partial z}{\partial x}$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1+x}{1+z} e^{x-z}$。
同理，对 $y$ 求偏导：$0 - (e^{y} + y e^{y}) = e^{z} \frac{\partial z}{\partial y} + z e^{z} \frac{\partial z}{\partial y}$，解得 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1+y}{1+z} e^{y-z}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1+x}{1+z} e^{x-z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1+y}{1+z} e^{y-z}$
提示：注意对 $x$ 求偏导时 $y$ 视为常数，且 $z e^{z}$ 对 $x$ 求导要用链式法则。
步骤 2/8
目标：求u的偏导数
由 $u = f(x,y,z)$ 且 $z=z(x,y)$，利用链式法则得：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = f_1 + f_3 \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = f_2 + f_3 \frac{\partial z}{\partial y}$$
其中 $f_1, f_2, f_3$ 分别表示 $f$ 对第一、二、三个变量的偏导数。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x} = f_1 + f_3 z_x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = f_2 + f_3 z_y$
提示：注意 $f$ 的偏导数是在点 $(x,y,z)$ 处取值。
步骤 3/8
目标：写出du的表达式
全微分 $\mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}y$，代入偏导数得：
$$\mathrm{d}u = \left(f_1 + \frac{1+x}{1+z} e^{x-z} f_3\right) \mathrm{d}x + \left(f_2 - \frac{1+y}{1+z} e^{y-z} f_3\right) \mathrm{d}y$$
公式：$\mathrm{d}u = \left(f_1 + \frac{1+x}{1+z} e^{x-z} f_3\right) \mathrm{d}x + \left(f_2 - \frac{1+y}{1+z} e^{y-z} f_3\right) \mathrm{d}y$
提示：注意符号：$z_y$ 为负，代入时不要遗漏。
步骤 4/8
目标：求隐函数z的偏导数（第二题）
方程 $z = x + y \varphi(z)$ 两边对 $x$ 求偏导：$z_x = 1 + y \varphi'(z) z_x$，解得 $z_x = \frac{1}{1 - y \varphi'(z)}$。
对 $y$ 求偏导：$z_y = \varphi(z) + y \varphi'(z) z_y$，解得 $z_y = \frac{\varphi(z)}{1 - y \varphi'(z)}$。
公式：$z_x = \frac{1}{1 - y \varphi'(z)}, \quad z_y = \frac{\varphi(z)}{1 - y \varphi'(z)}$
提示：注意 $\varphi(z)$ 是 $z$ 的函数，对 $y$ 求偏导时 $\varphi(z)$ 也要对 $y$ 求导。
步骤 5/8
目标：求u的偏导数并写出du
由 $u = f(x,z)$ 得：$u_x = f_1 + f_2 z_x$, $u_y = f_2 z_y$。代入得：
$$\mathrm{d}u = \left(f_1 + \frac{1}{1 - y \varphi'(z)} f_2\right) \mathrm{d}x + \frac{\varphi(z)}{1 - y \varphi'(z)} f_2 \mathrm{d}y$$
公式：$\mathrm{d}u = \left(f_1 + \frac{1}{1 - y \varphi'(z)} f_2\right) \mathrm{d}x + \frac{\varphi(z)}{1 - y \varphi'(z)} f_2 \mathrm{d}y$
提示：注意 $u$ 不显含 $y$，但通过 $z$ 依赖 $y$。
步骤 6/8
目标：求隐函数y的导数（第三题）
方程 $f(xy^2, x+y)=0$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$f_1 \cdot (y^2 + 2xy \frac{dy}{dx}) + f_2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 0$$
解得 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 f_1 + f_2}{2xy f_1 + f_2}$。
公式：$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 f_1 + f_2}{2xy f_1 + f_2}$
提示：注意 $f_1$ 和 $f_2$ 是 $f$ 对第一个和第二个中间变量的偏导数，在点 $(xy^2, x+y)$ 处取值。
步骤 7/8
目标：代入具体函数求导数值
当 $f(u,v)=u e^v + v$ 时，$f_1 = e^v$, $f_2 = u e^v + 1$。代入得：
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 e^{x+y} + (xy^2 e^{x+y} + 1)}{2xy e^{x+y} + (xy^2 e^{x+y} + 1)} = -\frac{y^2 e^{x+y} + xy^2 e^{x+y} + 1}{2xy e^{x+y} + xy^2 e^{x+y} + 1}$$
公式：$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 e^{x+y} + xy^2 e^{x+y} + 1}{2xy e^{x+y} + xy^2 e^{x+y} + 1}$
提示：注意 $v = x+y$，$u = xy^2$，代入时要小心。
步骤 8/8
目标：求隐函数z的偏导数（第四题）
方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 两边对 $x$ 求偏导：
$$f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot (-z_x) + f_3 \cdot (z_x - 1) = 0$$
整理得 $(f_3 - f_2) z_x = f_1 - f_3$，所以 $z_x = \frac{f_3 - f_1}{f_3 - f_2}$。
对 $y$ 求偏导：
$$f_1 \cdot (-1) + f_2 \cdot (1 - z_y) + f_3 \cdot z_y = 0$$
整理得 $(f_3 - f_2) z_y = f_1 - f_2$，所以 $z_y = \frac{f_1 - f_2}{f_3 - f_2}$。
全微分 $\mathrm{d}z = z_x \mathrm{d}x + z_y \mathrm{d}y = \frac{f_3 - f_1}{f_3 - f_2} \mathrm{d}x + \frac{f_1 - f_2}{f_3 - f_2} \mathrm{d}y$。
公式：$\mathrm{d}z = \frac{f_3 - f_1}{f_3 - f_2} \mathrm{d}x + \frac{f_1 - f_2}{f_3 - f_2} \mathrm{d}y$
提示：注意 $f_i$ 表示对第 $i$ 个中间变量的偏导数，且分母 $f_3 - f_2 \neq 0$ 由条件保证。
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