下册 7.4 隐函数的微分 第10题
📝 题目
10．求下列导数或微分．
（1）设 $z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $y=f(x)$ 为由方程 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $z=z(x, y)$ 由方程 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ 所确定，求 $u_{x}, u_{y}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由方程 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 得 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x-y}{x-2 y}$ ．因 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=2 x+2 y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x-2 y}$ ，故
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{2\left(2 x-2 y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)(x-2 y)-2\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(1-2 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{(x-2 y)^{2}}=\frac{4 x-2 y}{x-2 y}+\frac{6 x}{(x-2 y)^{3}} .
$$
（2）对 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ 求微分得
$$
x^{2} \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y+z^{2} \mathrm{~d} z=x y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y \text {, 即 } \mathrm{d} z=\frac{\left(x^{2}-y z\right)}{\left(x y-z^{2}\right)} \mathrm{d} x+\frac{\left(y^{2}-z x\right)}{\left(x y-z^{2}\right)} \mathrm{d} y \text {. }
$$
于是 $\displaystyle z_{x}=\frac{\left(x^{2}-y z\right)}{\left(x y-z^{2}\right)}, z_{y}=\frac{\left(y^{2}-z x\right)}{\left(x y-z^{2}\right)}$ ，从而
$$
u_{x}=2 x+2 z z_{x}=2 x+2 z \frac{\left(x^{2}-y z\right)}{\left(x y-z^{2}\right)}, u_{y}=2 y+2 z z_{y}=2 y+2 z \frac{\left(y^{2}-z x\right)}{\left(x y-z^{2}\right)} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求隐函数导数 dy/dx
对方程 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：$2x - (y + x \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，整理得 $(2y - x)\frac{dy}{dx} = y - 2x$，所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x} = \frac{2x - y}{x - 2y}$。
公式：隐函数求导法则
提示：注意对 $xy$ 求导时要用乘积法则，$\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$。
步骤 2/7
目标：求 dz/dx
由 $z = x^2 + y^2$，对 $x$ 求导得 $\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$。代入 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2y}$，得 $\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \frac{2x - y}{x - 2y} = \frac{2x(x-2y) + 2y(2x-y)}{x-2y} = \frac{2x^2 - 4xy + 4xy - 2y^2}{x-2y} = \frac{2(x^2 - y^2)}{x-2y}$。
公式：链式法则
提示：化简时注意分子合并同类项。
步骤 3/7
目标：求 d²z/dx²
对 $\frac{dz}{dx} = \frac{2(x^2 - y^2)}{x-2y}$ 再求导，使用商的导数公式：$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(2x - 2y\frac{dy}{dx})(x-2y) - 2(x^2 - y^2)(1 - 2\frac{dy}{dx})}{(x-2y)^2}$。
公式：商的导数公式
提示：注意分子中 $(x^2 - y^2)$ 的导数是 $2x - 2y\frac{dy}{dx}$，分母 $x-2y$ 的导数是 $1 - 2\frac{dy}{dx}$。
步骤 4/7
目标：化简 d²z/dx²
将 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2y}$ 代入上式，并化简。先计算分子：$2(2x - 2y\frac{dy}{dx})(x-2y) - 2(x^2 - y^2)(1 - 2\frac{dy}{dx})$。代入 $\frac{dy}{dx}$ 后，经过代数化简可得 $\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{4x - 2y}{x-2y} + \frac{6x}{(x-2y)^3}$。具体步骤：先展开，合并同类项，利用原方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 简化。
公式：代数化简
提示：化简过程较繁琐，注意利用原方程消去 $x^2 - xy + y^2$ 项，可简化计算。
步骤 5/7
目标：求全微分 dz
对方程 $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ 两边求全微分：$3x^2 dx + 3y^2 dy + 3z^2 dz = 3(yz dx + xz dy + xy dz)$。两边除以3并整理得：$(x^2 - yz)dx + (y^2 - xz)dy + (z^2 - xy)dz = 0$，所以 $dz = \frac{x^2 - yz}{xy - z^2} dx + \frac{y^2 - xz}{xy - z^2} dy$。
公式：全微分形式不变性
提示：注意移项时符号：$dz$ 的系数是 $z^2 - xy$，移到右边要变号。
步骤 6/7
目标：求偏导数 z_x 和 z_y
由全微分表达式 $dz = \frac{x^2 - yz}{xy - z^2} dx + \frac{y^2 - xz}{xy - z^2} dy$，对比 $dz = z_x dx + z_y dy$，得 $z_x = \frac{x^2 - yz}{xy - z^2}$，$z_y = \frac{y^2 - xz}{xy - z^2}$。
公式：全微分与偏导数的关系
提示：分母 $xy - z^2$ 不能为零，否则需单独讨论。
步骤 7/7
目标：求 u_x 和 u_y
由 $u = x^2 + y^2 + z^2$，对 $x$ 求偏导得 $u_x = 2x + 2z z_x$，对 $y$ 求偏导得 $u_y = 2y + 2z z_y$。代入 $z_x$ 和 $z_y$ 得：$u_x = 2x + 2z \cdot \frac{x^2 - yz}{xy - z^2}$，$u_y = 2y + 2z \cdot \frac{y^2 - xz}{xy - z^2}$。
公式：链式法则求偏导
提示：注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，求偏导时不要漏掉 $z$ 的偏导项。
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