下册 7.4 隐函数的微分 第11题
📝 题目
11．求解下列问题．
（1）设 $f$ 为可微函数，$u=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，并有方程 $3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ ，试对以下两种情形分别计算 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程确定了隐函数 $z=z(x, y)$ ；（2）由方程确定了隐函数 $y=y(z, x)$ ．
（2）设 $f$ 为可微函数，且 $f^{\prime}(4)=1, u=f\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right), x, y, z$ 满足方程 $(*): 4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ ．试就满足下述两种情况分别求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程 $(*)$ 确定隐函数 $z=f(x, y)$ ； （2）由方程 $\left(^{*}\right)$ 确定隐函数 $y=f(x, z)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）第一种情况：
方程 $3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ 两边对 $x$ 求偏导数得
于是
$$
\begin{gathered}
z_{x}=-\frac{3-6 y z}{3 z^{2}-6 x y}=-\frac{1-2 y z}{z^{2}-2 x y} . \\
\frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(2 x+2 z z_{x}\right) \text {, 即 }\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,1,1)}=0 .
\end{gathered}
$$
第二种情况：
方程 $3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ 两边对 $x$ 求偏导数得 $\displaystyle y_{x}=-\frac{3-6 y z}{4 y-6 x z}$ 。于是
$$
\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,1,1)}=\left.f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(2 x+2 y y_{x}\right)\right|_{(1,1,1)}=-f^{\prime}(3) .
$$
（2）当方程 $4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ 确定隐函数 $z=f(x, y)$ 时，
在方程两边 $4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ 对 $x$ 求导得
$$
4+3 z^{2} \cdot z_{x}=5 y z+5 x y z_{x} \text {, 即 } z_{x}=\frac{4-5 y z}{5 x y-3 z^{2}} \text {. }
$$
于是
$$
u_{x}=f^{\prime}\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right) \cdot\left(3 x^{2}+2 z \cdot z_{x}\right)=\left(3 x^{2}+\frac{(4-5 y z) \cdot 2 z}{5 x y-3 z^{2}}\right) f^{\prime}\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right)
$$
特别地，$\displaystyle u_{x}\left(P_{0}\right)=u_{x}(1,1,1)=\left(3+\frac{-2}{2}\right) f^{\prime}(4)=2 f^{\prime}(4)=2$ ．
当方程 $4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ 确定隐函数 $y=f(x, z)$ 时，
在方程两边 $4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ 对 $x$ 求导得
$$
4+4 y y_{x}=5 y z+5 x z y_{x} \text {, 即 } y_{x}=\frac{4-5 y z}{5 x z-4 y} \text {. }
$$
于是
$$
u_{x}=f^{\prime}\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right) \cdot\left(3 x^{2}+2 y_{x}\right)=\left(3 x^{2}+\frac{8-10 y z}{5 x z-4 y}\right) f^{\prime}\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right)
$$
特别地，$u_{x}\left(P_{0}\right)=u_{x}(1,1,1)=(3-2) f^{\prime}(4)=1$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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