下册 7.4 隐函数的微分 第12题
📝 题目
12．求由下列方程确定的隐函数的导数或微分．
（1）设 $z=z(x, y)$ 为由方程 $z=f(x y z, x+y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $z_{x}, z_{y}, \mathrm{~d} z$ 。
（2）设 $z=z(x, y)$ 为由方程 $z=f(x, x y)+\varphi(y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\mathrm{d} z$ ．
💡 答案解析
解题过程：
用 $f_{i}$ 表示 $f$ 对第 $i$ 个中间变量的偏导数．
（1）方程 $z=f(x y z, x+y+z)$ 两边分别对 $x, y$ 求偏导数得
$$
z_{x}=\left(y z+x y z_{x}\right) f_{1}+\left(1+z_{x}\right) f_{2}, z_{y}=\left(x z+x y z_{y}\right) f_{1}+\left(1+z_{y}\right) f_{2}
$$
于是 $\displaystyle z_{x}=\frac{y z f_{1}+f_{2}}{1-x y f_{1}-f_{2}}, z_{y}=\frac{x z f_{1}+f_{2}}{1-x y f_{1}-f_{2}}$ ．故
$$
\mathrm{d} z=z_{x} \mathrm{~d} x+z_{y} \mathrm{~d} y=\frac{y z f_{1}+f_{2}}{1-x y f_{1}-f_{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x z f_{1}+f_{2}}{1-x y f_{1}-f_{2}} \mathrm{~d} y
$$
（2）在 $z=f(x, x y)+\varphi(y+z)$ 两边对 $x, y$ 求偏导数得
$$
z_{x}=f_{1}+y f_{2}+\varphi^{\prime} z_{x}, z_{y}=x f_{2}+\varphi^{\prime}\left(1+z_{y}\right)
$$
于是 $\displaystyle z_{x}=\frac{f_{1}+y f}{1-\varphi^{\prime}}, z_{y}=\frac{x f_{2}+\varphi^{\prime}}{1-\varphi^{\prime}}$ ．从而 $\displaystyle \mathrm{d} z=\frac{f_{1}+y f}{1-\varphi^{\prime}} \mathrm{d} x+\frac{x f_{2}+\varphi^{\prime}}{1-\varphi^{\prime}} \mathrm{d} y$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目与设定
题目给出两个隐函数方程，要求求偏导数和全微分。对于（1），方程是 $z = f(xyz, x+y+z)$，其中 $f$ 是可微函数，$z=z(x,y)$。我们使用 $f_1, f_2$ 表示 $f$ 对第一个和第二个中间变量的偏导数。
提示：注意区分 $f$ 的偏导数和 $z$ 的偏导数，使用下标表示中间变量。
步骤 2/8
目标：对x求偏导（1）
方程两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，$xyz$ 和 $x+y+z$ 都是复合函数。得到：
$$z_x = \frac{\partial}{\partial x} f(xyz, x+y+z) = f_1 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xyz) + f_2 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y+z)$$
计算：$\frac{\partial}{\partial x}(xyz) = yz + xy z_x$，$\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z) = 1 + z_x$。所以：
$$z_x = (yz + xy z_x) f_1 + (1+z_x) f_2$$
公式：链式法则：$\frac{\partial}{\partial x} f(u,v) = f_u u_x + f_v v_x$
提示：注意 $xyz$ 对 $x$ 求导时，$y$ 视为常数，$z$ 是函数，要用乘积法则。
步骤 3/8
目标：对y求偏导（1）
类似地，方程两边对 $y$ 求偏导：
$$z_y = f_1 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xyz) + f_2 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x+y+z)$$
计算：$\frac{\partial}{\partial y}(xyz) = xz + xy z_y$，$\frac{\partial}{\partial y}(x+y+z) = 1 + z_y$。所以：
$$z_y = (xz + xy z_y) f_1 + (1+z_y) f_2$$
公式：链式法则
提示：对称性，注意 $x$ 和 $y$ 的角色互换。
步骤 4/8
目标：解出偏导数（1）
从 $z_x$ 的方程中解出 $z_x$：
$$z_x = yz f_1 + xy z_x f_1 + f_2 + z_x f_2$$
移项：$z_x - xy z_x f_1 - z_x f_2 = yz f_1 + f_2$，即 $z_x (1 - xy f_1 - f_2) = yz f_1 + f_2$，所以：
$$z_x = \frac{yz f_1 + f_2}{1 - xy f_1 - f_2}$$
同理，从 $z_y$ 的方程解出：
$$z_y = \frac{xz f_1 + f_2}{1 - xy f_1 - f_2}$$
公式：代数方程求解
提示：注意分母相同，且不能为零。
步骤 5/8
目标：写出全微分（1）
全微分 $\mathrm{d}z = z_x \mathrm{d}x + z_y \mathrm{d}y$，代入得：
$$\mathrm{d}z = \frac{yz f_1 + f_2}{1 - xy f_1 - f_2} \mathrm{d}x + \frac{xz f_1 + f_2}{1 - xy f_1 - f_2} \mathrm{d}y$$
公式：$\mathrm{d}z = z_x \mathrm{d}x + z_y \mathrm{d}y$
提示：结果可以合并为分式形式。
步骤 6/8
目标：对x求偏导（2）
方程 $z = f(x, xy) + \varphi(y+z)$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $f$ 的第一个变量是 $x$，第二个是 $xy$，$\varphi$ 的变量是 $y+z$。得到：
$$z_x = \frac{\partial}{\partial x} f(x, xy) + \frac{\partial}{\partial x} \varphi(y+z) = f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot y + \varphi' \cdot z_x$$
其中 $f_1$ 是 $f$ 对第一个变量的偏导，$f_2$ 对第二个，$\varphi'$ 是 $\varphi$ 的导数。所以：
$$z_x = f_1 + y f_2 + \varphi' z_x$$
公式：链式法则
提示：注意 $f(x,xy)$ 对 $x$ 求导时，第一个变量直接求导得1，第二个变量求导得 $y$。
步骤 7/8
目标：对y求偏导（2）
方程两边对 $y$ 求偏导：
$$z_y = \frac{\partial}{\partial y} f(x, xy) + \frac{\partial}{\partial y} \varphi(y+z) = f_1 \cdot 0 + f_2 \cdot x + \varphi' \cdot (1 + z_y)$$
所以：
$$z_y = x f_2 + \varphi' (1 + z_y)$$
公式：链式法则
提示：注意 $f(x,xy)$ 对 $y$ 求导时，第一个变量是常数，第二个变量求导得 $x$；$\varphi$ 的变量是 $y+z$，对 $y$ 求导得 $1+z_y$。
步骤 8/8
目标：解出偏导数和全微分（2）
从 $z_x$ 方程解出 $z_x$：$z_x - \varphi' z_x = f_1 + y f_2$，即 $z_x (1 - \varphi') = f_1 + y f_2$，所以：
$$z_x = \frac{f_1 + y f_2}{1 - \varphi'}$$
从 $z_y$ 方程解出 $z_y$：$z_y = x f_2 + \varphi' + \varphi' z_y$，移项：$z_y - \varphi' z_y = x f_2 + \varphi'$，即 $z_y (1 - \varphi') = x f_2 + \varphi'$，所以：
$$z_y = \frac{x f_2 + \varphi'}{1 - \varphi'}$$
全微分：
$$\mathrm{d}z = \frac{f_1 + y f_2}{1 - \varphi'} \mathrm{d}x + \frac{x f_2 + \varphi'}{1 - \varphi'} \mathrm{d}y$$
公式：代数求解
提示：注意分母相同，且 $\varphi'$ 是 $\varphi$ 的导数，自变量为 $y+z$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。