下册 7.4 隐函数的微分 第14题
📝 题目
14．设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上无穷次可微，且满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．证明：（1）存在 $\delta>0$ 和定义在 $(-\delta, \delta)$ 上的可微函数 $\varphi(t)$ ，使得 $f(\varphi(t))=\sin t$ ；（2）求 $\varphi(t)$ 在 $t=0$ 的二阶泰勒公式．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $F(t, y)=f(y)-\sin t$ ．由函数 $f(y)$ 在 $\mathbf{R}$ 上无穷次可微知，$F(t, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上无穷次可微．又 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，所以 $F(0,0)=0, F_{y}^{\prime}(0,0)=f^{\prime}(0) \neq 0$ ．
由隐函数定理，存在 $\delta>0$ 和定义在 $(-\delta, \delta)$ 上的可微函数 $y=\varphi(t)$ ，使得 $F(t, \varphi(t))=0$ ，即
$$
f(\varphi(t))=\sin t .
$$
在 $f(\varphi(t))=\sin t$ 两边对 $t$ 求导得
$$
f^{\prime}(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t)=\cos t, \quad f^{\prime \prime}(\varphi(t))\left(\varphi^{\prime}(t)\right)^{2}+f^{\prime}(\varphi(t)) \varphi^{\prime \prime}(t)=-\sin t
$$
由 $\varphi(0)=0$ 得 $\displaystyle \varphi^{\prime}(0)=\frac{1}{f^{\prime}(0)}, \varphi^{\prime \prime}(0)=-\frac{f^{\prime \prime}(0)}{\left(f^{\prime}(0)\right)^{3}}$ 。所以
$$
\varphi(t)=\varphi(0)+\varphi^{\prime}(0) t+\frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}(0) t^{2}+o\left(t^{2}\right)=\frac{1}{f^{\prime}(0)} t-\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2\left(f^{\prime}(0)\right)^{3}} t^{2}+o\left(t^{2}\right)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并验证隐函数定理条件
令 $F(t, y)=f(y)-\sin t$。由于 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上无穷次可微，$F$ 在 $\mathbf{R}^2$ 上无穷次可微。由 $f(0)=0$ 得 $F(0,0)=0$，且 $F_y'(0,0)=f'(0)\neq 0$。因此满足隐函数定理条件。
公式：$F(t,y)=f(y)-\sin t$，$F_y'(0,0)=f'(0)\neq 0$
提示：注意隐函数定理要求 $F_y'\neq 0$，这里 $f'(0)\neq 0$ 是关键。
步骤 2/5
目标：应用隐函数定理得到存在性
由隐函数定理，存在 $\delta>0$ 和定义在 $(-\delta,\delta)$ 上的可微函数 $y=\varphi(t)$，使得 $F(t,\varphi(t))=0$，即 $f(\varphi(t))=\sin t$。且 $\varphi(0)=0$。
公式：$f(\varphi(t))=\sin t$
提示：隐函数定理保证局部存在唯一，注意 $\delta$ 可能很小。
步骤 3/5
目标：对恒等式求一阶导数
在 $f(\varphi(t))=\sin t$ 两边对 $t$ 求导，由链式法则得 $f'(\varphi(t))\varphi'(t)=\cos t$。代入 $t=0$，利用 $\varphi(0)=0$ 得 $f'(0)\varphi'(0)=1$，所以 $\varphi'(0)=\frac{1}{f'(0)}$。
公式：$f'(\varphi(t))\varphi'(t)=\cos t$
提示：注意链式法则的正确使用，$\varphi(0)=0$ 由 $f(\varphi(0))=\sin 0=0$ 和 $f$ 在0附近单射得到。
步骤 4/5
目标：对恒等式求二阶导数
对 $f'(\varphi(t))\varphi'(t)=\cos t$ 两边再对 $t$ 求导，得 $f''(\varphi(t))(\varphi'(t))^2+f'(\varphi(t))\varphi''(t)=-\sin t$。代入 $t=0$，利用 $\varphi(0)=0$，$\varphi'(0)=\frac{1}{f'(0)}$，得 $f''(0)\left(\frac{1}{f'(0)}\right)^2+f'(0)\varphi''(0)=0$，解得 $\varphi''(0)=-\frac{f''(0)}{(f'(0))^3}$。
公式：$f''(\varphi(t))(\varphi'(t))^2+f'(\varphi(t))\varphi''(t)=-\sin t$
提示：注意二阶导数的计算，不要遗漏项。
步骤 5/5
目标：写出二阶泰勒公式
函数 $\varphi(t)$ 在 $t=0$ 处的二阶泰勒公式为 $\varphi(t)=\varphi(0)+\varphi'(0)t+\frac{1}{2}\varphi''(0)t^2+o(t^2)$。代入 $\varphi(0)=0$，$\varphi'(0)=\frac{1}{f'(0)}$，$\varphi''(0)=-\frac{f''(0)}{(f'(0))^3}$，得 $\varphi(t)=\frac{1}{f'(0)}t-\frac{f''(0)}{2(f'(0))^3}t^2+o(t^2)$。
公式：$\varphi(t)=\varphi(0)+\varphi'(0)t+\frac{1}{2}\varphi''(0)t^2+o(t^2)$
提示：注意二阶泰勒公式的系数是 $\frac{1}{2}\varphi''(0)$，不要漏掉 $\frac{1}{2}$。
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