下册 7.4 隐函数的微分 第15题
📝 题目
15．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设方程 $\left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $u_{x}, u_{y}, \mathrm{~d} v$ ．
（2）设方程 $\left\{\begin{array}{l}x+y+u+v=0 \\ x^{2}+y^{2}+u \cos v=0\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $u_{x}, u_{y}$ ．
（3）求由方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{3}+y^{3}-z^{3}=10\end{array}\right.$ 确定的隐函数 $y=y(x), z=z(x)$ 在点 $P(1,1,-2)$ 处的一阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）在方程组中求微分得到
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} x+\mathrm{d} y=\mathrm{d} u+\mathrm{d} v \\
\sin v \mathrm{~d} x+x \cos v \mathrm{~d} v=\sin u \mathrm{~d} y+y \cos u \mathrm{~d} u
\end{array}\right.
$$
解此方程组得
$$
\mathrm{d} u=\frac{\sin v+x \cos v}{x \cos v+y \cos u} \mathrm{~d} x+\frac{x \cos v-\sin u}{x \cos v+y \cos u} \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} v=\frac{y \cos u-\sin v}{x \cos v+y \cos u} \mathrm{~d} x+\frac{y \cos u+\sin u}{x \cos v+y \cos u} \mathrm{~d} y .
$$
于是 $\displaystyle u_{x}=\frac{\sin v+x \cos v}{x \cos v+y \cos u}, u_{y}=\frac{x \cos v-\sin u}{x \cos v+y \cos u}$ ．
（2）方程组关于 $x$ 求偏导数得 $\left\{\begin{array}{l}1+u_{x}+v_{x}=0, \\ 2 x+u_{x} \cos v-v_{x} \cdot u \sin v=0 \text { ．}\end{array}\right.$
解之得 $\displaystyle u_{x}=-\frac{2 x+u \sin v}{u \sin v+\cos v}, v_{x}=-1-u_{x}=\frac{2 x+u \sin v}{u \sin v+\cos v}-1$ ．
方程组关于 $y$ 求偏导数得 $\left\{\begin{array}{l}1+u_{y}+v_{y}=0, \\ 2 y+u_{y} \cos v-v_{y} \cdot u \sin v=0 .\end{array}\right.$
解之得 $\displaystyle u_{y}=-\frac{2 y+u \sin v}{u \sin v+\cos v}, v_{y}=-1-u_{y}=\frac{2 y+u \sin v}{u \sin v+\cos v}-1$ ．
（3）方程组关于 $x$ 求导数得
$$
\left\{\begin{array}{l}
1+y_{x}+z_{x}=0 \\
3 x^{2}+3 y^{2} y_{x}-3 z^{2} z_{x}=0
\end{array}\right.
$$
把 $x=1, y=1, z=-2$ 代人上式得 $\left\{\begin{array}{l}1+y_{x}+z_{x}=0, \\ 1+y_{x}-4 z_{x}=0 .\end{array}\right.$ 解之得 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{P}=-1,\left.\frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{P}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：对第(1)小题方程组求微分
对第一个方程 $x+y=u+v$ 两边求微分，得 $\mathrm{d}x+\mathrm{d}y=\mathrm{d}u+\mathrm{d}v$。对第二个方程 $x\sin v=y\sin u$ 两边求微分，利用乘积法则和链式法则，得 $\sin v\,\mathrm{d}x + x\cos v\,\mathrm{d}v = \sin u\,\mathrm{d}y + y\cos u\,\mathrm{d}u$。
公式：$\mathrm{d}(x\sin v)=\sin v\,\mathrm{d}x + x\cos v\,\mathrm{d}v$
提示：注意微分时 $u$ 和 $v$ 是 $x,y$ 的函数，因此 $\mathrm{d}u$ 和 $\mathrm{d}v$ 不能忽略。
步骤 2/9
目标：解出 $\mathrm{d}u$ 和 $\mathrm{d}v$
将微分方程组视为关于 $\mathrm{d}u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的线性方程组：
\begin{cases}
\mathrm{d}u + \mathrm{d}v = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y \\
y\cos u\,\mathrm{d}u - x\cos v\,\mathrm{d}v = \sin v\,\mathrm{d}x - \sin u\,\mathrm{d}y
\end{cases}
解此方程组，系数行列式为 $\Delta = 1\cdot(-x\cos v) - 1\cdot(y\cos u) = -(x\cos v + y\cos u)$。利用克莱姆法则，得
\begin{align*}
\mathrm{d}u &= \frac{\begin{vmatrix}
\mathrm{d}x+\mathrm{d}y & 1 \\
\sin v\,\mathrm{d}x-\sin u\,\mathrm{d}y & -x\cos v
\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{-(x\cos v)(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y) - (\sin v\,\mathrm{d}x-\sin u\,\mathrm{d}y)}{\Delta} \\
&= \frac{(\sin v + x\cos v)\mathrm{d}x + (x\cos v - \sin u)\mathrm{d}y}{x\cos v + y\cos u} \\
\mathrm{d}v &= \frac{\begin{vmatrix}
1 & \mathrm{d}x+\mathrm{d}y \\
y\cos u & \sin v\,\mathrm{d}x-\sin u\,\mathrm{d}y
\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{(\sin v\,\mathrm{d}x-\sin u\,\mathrm{d}y) - y\cos u(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y)}{\Delta} \\
&= \frac{(y\cos u - \sin v)\mathrm{d}x + (y\cos u + \sin u)\mathrm{d}y}{x\cos v + y\cos u}
\end{align*}
公式：克莱姆法则
提示：注意分母 $x\cos v + y\cos u$ 不能为零，这是隐函数存在条件。
步骤 3/9
目标：写出 $u_x, u_y$ 和 $\mathrm{d}v$
由 $\mathrm{d}u = u_x\mathrm{d}x + u_y\mathrm{d}y$，比较系数得
$$u_x = \frac{\sin v + x\cos v}{x\cos v + y\cos u}, \quad u_y = \frac{x\cos v - \sin u}{x\cos v + y\cos u}.$$
而 $\mathrm{d}v$ 的表达式已在上一步给出：
$$\mathrm{d}v = \frac{y\cos u - \sin v}{x\cos v + y\cos u}\mathrm{d}x + \frac{y\cos u + \sin u}{x\cos v + y\cos u}\mathrm{d}y.$$
提示：注意 $\mathrm{d}v$ 的表达式与答案一致。
步骤 4/9
目标：对第(2)小题方程组关于 $x$ 求偏导
方程组为 $\begin{cases} x+y+u+v=0 \\ x^2+y^2+u\cos v=0 \end{cases}$，其中 $u=u(x,y), v=v(x,y)$。对第一个方程两边关于 $x$ 求偏导，得 $1 + u_x + v_x = 0$。对第二个方程两边关于 $x$ 求偏导，注意 $u\cos v$ 是乘积，得 $2x + u_x\cos v - u\sin v\, v_x = 0$。
公式：$\frac{\partial}{\partial x}(u\cos v) = u_x\cos v - u\sin v\, v_x$
提示：注意 $v$ 是 $x$ 的函数，求导时要用链式法则。
步骤 5/9
目标：解出 $u_x$ 和 $v_x$
由 $1+u_x+v_x=0$ 得 $v_x = -1-u_x$。代入第二个方程：$2x + u_x\cos v - u\sin v(-1-u_x)=0$，即 $2x + u_x\cos v + u\sin v + u\sin v\, u_x = 0$。整理得 $u_x(\cos v + u\sin v) = -2x - u\sin v$，所以
$$u_x = -\frac{2x + u\sin v}{\cos v + u\sin v}.$$
进而 $v_x = -1 - u_x = -1 + \frac{2x+u\sin v}{\cos v+u\sin v} = \frac{2x+u\sin v - (\cos v+u\sin v)}{\cos v+u\sin v} = \frac{2x - \cos v}{\cos v+u\sin v}.$
提示：注意分母 $\cos v + u\sin v$ 不能为零。
步骤 6/9
目标：对第(2)小题方程组关于 $y$ 求偏导
类似地，对第一个方程关于 $y$ 求偏导得 $1 + u_y + v_y = 0$。对第二个方程关于 $y$ 求偏导得 $2y + u_y\cos v - u\sin v\, v_y = 0$。
提示：与对 $x$ 求导类似，注意对称性。
步骤 7/9
目标：解出 $u_y$ 和 $v_y$
由 $1+u_y+v_y=0$ 得 $v_y = -1-u_y$。代入第二个方程：$2y + u_y\cos v - u\sin v(-1-u_y)=0$，即 $2y + u_y\cos v + u\sin v + u\sin v\, u_y = 0$。整理得 $u_y(\cos v + u\sin v) = -2y - u\sin v$，所以
$$u_y = -\frac{2y + u\sin v}{\cos v + u\sin v}.$$
进而 $v_y = -1 - u_y = -1 + \frac{2y+u\sin v}{\cos v+u\sin v} = \frac{2y - \cos v}{\cos v+u\sin v}.$
提示：注意与 $u_x$ 表达式的对称性，只需将 $x$ 换成 $y$。
步骤 8/9
目标：对第(3)小题方程组关于 $x$ 求导
方程组为 $\begin{cases} x+y+z=0 \\ x^3+y^3-z^3=10 \end{cases}$，其中 $y=y(x), z=z(x)$。对第一个方程两边关于 $x$ 求导，得 $1 + y' + z' = 0$。对第二个方程两边关于 $x$ 求导，得 $3x^2 + 3y^2 y' - 3z^2 z' = 0$，即 $x^2 + y^2 y' - z^2 z' = 0$。
公式：$\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2 y'$
提示：注意 $z$ 是 $x$ 的函数，$z^3$ 求导得 $3z^2 z'$，负号不要漏。
步骤 9/9
目标：代入点 $P(1,1,-2)$ 求解导数
将 $x=1, y=1, z=-2$ 代入方程组：
\begin{cases}
1 + y' + z' = 0 \\
1^2 + 1^2 y' - (-2)^2 z' = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + y' - 4z' = 0
\end{cases}
解此线性方程组：由第一式得 $y' = -1 - z'$，代入第二式：$1 + (-1 - z') - 4z' = 0 \Rightarrow -5z' = 0 \Rightarrow z' = 0$。进而 $y' = -1 - 0 = -1$。所以 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_P = -1$，$\left.\frac{dz}{dx}\right|_P = 0$。
提示：注意 $z^2$ 代入 $z=-2$ 得 $4$，符号正确。
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