下册 7.4 隐函数的微分 第16题
📝 题目
16．求由下列方程组确定的隐函数组的导数．
（1）设函数 $\left\{\begin{array}{l}u=u(x, y) \\ v=v(x, y)\end{array}\right.$ 满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}x u-y v=0, \\ y u+x v=1 .\end{array}\right.$ 求 $u_{x}, v_{y}$ ．
（2）设 $x=x(y, u), v=v(y, u)$ 是由方程组 $\left\{\begin{array}{l}u=f(x, y)+x v \\ y=g(x, v)+y u\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle \left(v+\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial g}{\partial v} \neq x \frac{\partial g}{\partial x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial y}$ ．
（3）设函数 $\left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right) .\end{array}\right.$ 求 $u_{x}, v_{x}$ 。河北工大 2002，上海理工 2009，青岛大学 2014）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方程组关于 $x$ 求偏导数得 $\left\{\begin{array}{l}u+x u_{x}-y v_{x}=0, \\ y u_{x}+v+x v_{x}=0 .\end{array}\right.$ 解之得 $\displaystyle u_{x}=-\frac{x u+y v}{x^{2}+y^{2}}$ ．
方程组关于 $y$ 求偏导数得 $\left\{\begin{array}{l}x u_{y}-v-y v_{y}=0, \\ u+y u_{y}+x v_{y}=0 .\end{array}\right.$ 解之得 $\displaystyle v_{y}=-\frac{x u+y v}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（2）方程组关于 $u$ 求偏导数得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}1=f_{x} x_{u}+v x_{u}+x v_{u} \\ 0=g_{x} x_{u}+g_{v} v_{u}+y \text { 。 解之得 } x_{u}=\frac{x y+g_{v}}{v g_{v}-x g_{x}+f_{x} g_{v}} \text { ．}\end{array}\right.$
方程组关于 $y$ 求偏导数得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}0=f_{x} x_{y}+f_{y}+v x_{y}+x v_{y}, \text { 解之得 } x_{y}=\frac{x(1-u)+g_{v} f_{y}}{x g_{x}-g_{v}\left(f_{x}+v\right)} \text { ．} 1=g_{x} x_{y}+g_{v} v_{y}+u \text { ．}\end{array}\right.$
（3）对 $x$ 求偏导数得
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{x}=f_{1}\left(u+x u_{x}\right)+f_{2} v_{x} \\
v_{x}=g_{1}\left(u_{x}-1\right)+g_{2}\left(2 v y v_{x}\right)
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle u_{x}=\frac{u\left(1-2 v y g_{2}\right) f_{1}-f_{2} g_{1}}{\left(1-x f_{1}\right)\left(1-2 v y g_{2}\right)-f_{2} g_{1}}, v_{x}=\frac{-\left(1-x f_{1}\right) g_{1}+u f_{1} g_{1}}{\left(1-x f_{1}\right)\left(1-2 v y g_{2}\right)-f_{2} g_{1}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：对第(1)问方程组关于x求偏导
将方程组 $\left\{\begin{array}{l}x u - y v = 0 \\ y u + x v = 1\end{array}\right.$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $u,v$ 是 $x,y$ 的函数，得到：
$$\left\{\begin{array}{l}u + x u_x - y v_x = 0 \\ y u_x + v + x v_x = 0\end{array}\right.$$
公式：隐函数求导法则
提示：注意 $x$ 和 $y$ 是自变量，$u$ 和 $v$ 是因变量，对 $x$ 求导时 $y$ 视为常数。
步骤 2/9
目标：解出第(1)问的 $u_x$
将上述方程组视为关于 $u_x, v_x$ 的线性方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}x u_x - y v_x = -u \\ y u_x + x v_x = -v\end{array}\right.$$
利用克莱姆法则，系数行列式 $D = \begin{vmatrix} x & -y \\ y & x \end{vmatrix} = x^2 + y^2$，
$$u_x = \frac{\begin{vmatrix} -u & -y \\ -v & x \end{vmatrix}}{D} = \frac{-u x - (-y)(-v)}{x^2+y^2} = \frac{-u x - y v}{x^2+y^2} = -\frac{x u + y v}{x^2+y^2}$$
公式：克莱姆法则
提示：注意行列式计算时符号不要出错。
步骤 3/9
目标：对第(1)问方程组关于y求偏导并解出 $v_y$
将原方程组两边对 $y$ 求偏导，得到：
$$\left\{\begin{array}{l}x u_y - v - y v_y = 0 \\ u + y u_y + x v_y = 0\end{array}\right.$$
整理为关于 $u_y, v_y$ 的方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}x u_y - y v_y = v \\ y u_y + x v_y = -u\end{array}\right.$$
系数行列式相同 $D = x^2+y^2$，则
$$v_y = \frac{\begin{vmatrix} x & v \\ y & -u \end{vmatrix}}{D} = \frac{x(-u) - v y}{x^2+y^2} = -\frac{x u + y v}{x^2+y^2}$$
公式：克莱姆法则
提示：注意对 $y$ 求导时，$x$ 视为常数，且 $v$ 对 $y$ 求导得 $v_y$，但 $y$ 本身导数为1。
步骤 4/9
目标：对第(2)问方程组关于u求偏导
方程组为 $\left\{\begin{array}{l}u = f(x,y) + x v \\ y = g(x,v) + y u\end{array}\right.$，其中 $x = x(y,u), v = v(y,u)$。对 $u$ 求偏导，注意 $y$ 视为常数，得到：
$$\left\{\begin{array}{l}1 = f_x x_u + v x_u + x v_u \\ 0 = g_x x_u + g_v v_u + y\end{array}\right.$$
这里 $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$，$g_x = \frac{\partial g}{\partial x}$，$g_v = \frac{\partial g}{\partial v}$。
公式：隐函数求导法则
提示：注意 $f$ 和 $g$ 是已知函数，求偏导时需使用链式法则。
步骤 5/9
目标：解出第(2)问的 $x_u$
将方程组整理为关于 $x_u, v_u$ 的线性方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}(f_x + v) x_u + x v_u = 1 \\ g_x x_u + g_v v_u = -y\end{array}\right.$$
系数行列式 $D = (f_x+v) g_v - x g_x$，由条件 $\left(v+\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial g}{\partial v} \neq x \frac{\partial g}{\partial x}$ 知 $D \neq 0$。则
$$x_u = \frac{\begin{vmatrix} 1 & x \\ -y & g_v \end{vmatrix}}{D} = \frac{1 \cdot g_v - x \cdot (-y)}{D} = \frac{g_v + x y}{D} = \frac{x y + g_v}{v g_v - x g_x + f_x g_v}$$
公式：克莱姆法则
提示：注意分母的表达式，不要混淆符号。
步骤 6/9
目标：对第(2)问方程组关于y求偏导
对 $y$ 求偏导，注意 $u$ 视为常数，得到：
$$\left\{\begin{array}{l}0 = f_x x_y + f_y + v x_y + x v_y \\ 1 = g_x x_y + g_v v_y + u\end{array}\right.$$
其中 $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$。
公式：隐函数求导法则
提示：注意第一个方程中 $f$ 对 $y$ 有显式依赖，所以有 $f_y$ 项。
步骤 7/9
目标：解出第(2)问的 $x_y$
整理为关于 $x_y, v_y$ 的线性方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}(f_x + v) x_y + x v_y = -f_y \\ g_x x_y + g_v v_y = 1 - u\end{array}\right.$$
系数行列式 $D$ 同上。则
$$x_y = \frac{\begin{vmatrix} -f_y & x \\ 1-u & g_v \end{vmatrix}}{D} = \frac{(-f_y) g_v - x (1-u)}{D} = \frac{-f_y g_v - x + x u}{D} = \frac{x(u-1) - f_y g_v}{D}$$
由于 $D = (f_x+v) g_v - x g_x$，所以
$$x_y = \frac{x(1-u) + g_v f_y}{x g_x - g_v (f_x+v)}$$
公式：克莱姆法则
提示：注意符号：分子中 $x(u-1) = -x(1-u)$，最终答案形式需与标准答案一致。
步骤 8/9
目标：对第(3)问方程组关于x求偏导
方程组为 $\left\{\begin{array}{l}u = f(u x, v+y) \\ v = g(u-x, v^2 y)\end{array}\right.$，其中 $u=u(x,y), v=v(x,y)$。对 $x$ 求偏导，使用链式法则，记 $f_1 = \frac{\partial f}{\partial (ux)}$，$f_2 = \frac{\partial f}{\partial (v+y)}$，$g_1 = \frac{\partial g}{\partial (u-x)}$，$g_2 = \frac{\partial g}{\partial (v^2 y)}$，得到：
$$\left\{\begin{array}{l}u_x = f_1 (u + x u_x) + f_2 v_x \\ v_x = g_1 (u_x - 1) + g_2 (2 v y v_x)\end{array}\right.$$
公式：链式法则
提示：注意 $f$ 的第一个变量是 $u x$，对 $x$ 求导时 $u$ 也是 $x$ 的函数，所以导数为 $u + x u_x$；第二个变量 $v+y$ 对 $x$ 求导得 $v_x$。$g$ 的第一个变量 $u-x$ 对 $x$ 求导得 $u_x - 1$；第二个变量 $v^2 y$ 对 $x$ 求导得 $2 v y v_x$。
步骤 9/9
目标：解出第(3)问的 $u_x$ 和 $v_x$
将方程组整理为关于 $u_x, v_x$ 的线性方程组：
$$\left\{\begin{array}{l}(1 - x f_1) u_x - f_2 v_x = u f_1 \\ -g_1 u_x + (1 - 2 v y g_2) v_x = -g_1\end{array}\right.$$
系数行列式 $D = (1 - x f_1)(1 - 2 v y g_2) - f_2 g_1$。则
$$u_x = \frac{\begin{vmatrix} u f_1 & -f_2 \\ -g_1 & 1 - 2 v y g_2 \end{vmatrix}}{D} = \frac{u f_1 (1 - 2 v y g_2) - (-f_2)(-g_1)}{D} = \frac{u f_1 (1 - 2 v y g_2) - f_2 g_1}{D}$$
$$v_x = \frac{\begin{vmatrix} 1 - x f_1 & u f_1 \\ -g_1 & -g_1 \end{vmatrix}}{D} = \frac{(1 - x f_1)(-g_1) - u f_1 (-g_1)}{D} = \frac{-(1 - x f_1) g_1 + u f_1 g_1}{D}$$
公式：克莱姆法则
提示：注意行列式计算时符号，特别是 $v_x$ 的分子。
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