下册 7.4 隐函数的微分 第18题
📝 题目
18．证明下列各题．
（1）证明：方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $u=u(x, y)$ 是由方程组 $\left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F=x^{2}+u^{2}+v^{2}-9, G=x^{2}+u^{2}-3 x$ ．由于
$$
J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=-4 u v \neq 0
$$
所以方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y) .\end{array}\right.$
方程组关于 $x$ 求偏导数得 $\left\{\begin{array}{l}2 x+2 u u_{x}+2 v v_{x}=0, \\ 2 x+2 u u_{x}-3=0 .\end{array}\right.$ 解之得 $\displaystyle u_{x}=\frac{3-2 x}{2 u}, v_{x}=-\frac{3}{2 v}$ ．
（2）$u_{x}=z+x z_{x}+y f^{\prime}(z) z_{x}+g^{\prime}(z) z_{x}=z+z_{x}\left(x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)\right)=z$ ．
$$
\begin{aligned}
& u_{y}=z_{y} x+f(z)+y f^{\prime}(z) z_{y}+g^{\prime}(z) z_{y}=f(z)+z_{y}\left(x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)\right)=f(z) \\
& u_{x x}=z_{x}, u_{y y}=f^{\prime}(z) z_{y}, u_{x y}=z_{y}=f^{\prime}(z) z_{x}
\end{aligned}
$$
于是
$$
u_{x y} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y} \cdot u_{x y}=z_{x} f^{\prime}(z) z_{y}-f^{\prime}(z) z_{x} z_{y}=0
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证隐函数组存在唯一性
令 $F(x,u,v)=x^2+u^2+v^2-9$, $G(x,u,v)=x^2+u^2-3x$。计算Jacobi行列式：
$$J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2u & 2v \\ 2u & 0 \end{vmatrix}=-4uv.$$
由于 $u,v\neq0$，故 $J\neq0$，由隐函数定理，方程组能确定唯一的隐函数组 $u=f(x)$, $v=g(x)$。
公式：J = \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = -4uv
提示：注意隐函数定理的条件：Jacobi行列式不为零，且函数连续可微。
步骤 2/6
目标：求隐函数的导数 u_x 和 v_x
将方程组对 $x$ 求导（注意 $u,v$ 是 $x$ 的函数）：
$$\begin{cases} 2x+2uu_x+2vv_x=0, \\ 2x+2uu_x-3=0. \end{cases}$$
由第二个方程解得 $u_x = \frac{3-2x}{2u}$。代入第一个方程得 $2x+2u\cdot\frac{3-2x}{2u}+2vv_x=0$，即 $2x+3-2x+2vv_x=0$，所以 $v_x = -\frac{3}{2v}$。
公式：u_x = \frac{3-2x}{2u}, \quad v_x = -\frac{3}{2v}
提示：求导时注意链式法则，$u$ 和 $v$ 都是 $x$ 的函数。
步骤 3/6
目标：证明 u_x = z
由方程组 $u=zx+yf(z)+g(z)$ 和 $x+yf'(z)+g'(z)=0$，将 $u$ 对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数：
$$u_x = z + xz_x + yf'(z)z_x + g'(z)z_x = z + z_x(x+yf'(z)+g'(z)).$$
由第二个方程知 $x+yf'(z)+g'(z)=0$，故 $u_x = z$。
公式：u_x = z
提示：注意 $z$ 是隐函数，求导时需考虑 $z_x$。
步骤 4/6
目标：证明 u_y = f(z)
将 $u$ 对 $y$ 求偏导：
$$u_y = xz_y + f(z) + yf'(z)z_y + g'(z)z_y = f(z) + z_y(x+yf'(z)+g'(z)).$$
由第二个方程知 $x+yf'(z)+g'(z)=0$，故 $u_y = f(z)$。
公式：u_y = f(z)
提示：注意 $f(z)$ 对 $y$ 求导时要用链式法则。
步骤 5/6
目标：计算二阶偏导数
由 $u_x = z$ 得 $u_{xx} = z_x$，$u_{xy} = z_y$。
由 $u_y = f(z)$ 得 $u_{yy} = f'(z)z_y$，$u_{yx} = f'(z)z_x$。由于二阶连续可微，混合偏导相等，故 $z_y = f'(z)z_x$。
公式：u_{xx}=z_x,\ u_{xy}=z_y,\ u_{yy}=f'(z)z_y,\ u_{yx}=f'(z)z_x
提示：注意混合偏导相等条件：二阶连续可微。
步骤 6/6
目标：证明 u_{xx}u_{yy} - u_{xy}^2 = 0
计算：
$$u_{xx}u_{yy} - u_{xy}^2 = z_x \cdot f'(z)z_y - (z_y)^2.$$
由 $z_y = f'(z)z_x$ 代入得：
$$z_x \cdot f'(z) \cdot f'(z)z_x - (f'(z)z_x)^2 = f'(z)^2 z_x^2 - f'(z)^2 z_x^2 = 0.$$
公式：u_{xx}u_{yy} - u_{xy}^2 = 0
提示：代入 $z_y = f'(z)z_x$ 时注意符号。
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