下册 7.4 隐函数的微分 第19题
📝 题目
19．设函数 $f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 有连续的导数，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，证明：坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ v=x f(x)-y\end{array}\right.$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$附近是局部可逆的，且其逆具有形式 $\left\{\begin{array}{l}x=g(u), \\ y=u g(u)-v .\end{array}\right.$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\displaystyle \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\left|\begin{array}{ll}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}f^{\prime}(x) & 0 \\ f(x)+x f^{\prime}(x) & -1\end{array}\right|=-f^{\prime}(x)$ 及 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ 知，$\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ v=x f(x)-y\end{array}\right.$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$附近是局部可逆的．
由 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ 知，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 附近有反函数 $x=g(u)$ 。由 $v=x f(x)-y=u g(u)-y$ 可得 $y=u g(u)-v$ 。故其逆具有形式 $\left\{\begin{array}{l}x=g(u), \\ y=u g(u)-v \text { 。 }\end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算雅可比行列式
计算坐标变换的雅可比行列式：
\[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f'(x) & 0 \\ f(x) + x f'(x) & -1 \end{vmatrix} = -f'(x).
\]
公式：\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = -f'(x)
提示：注意偏导数的计算：$u_y = 0$，$v_x = f(x) + x f'(x)$，$v_y = -1$。
步骤 2/5
目标：应用反函数定理
由条件 $f'(x_0) \neq 0$ 可知，在点 $(x_0, y_0)$ 处雅可比行列式非零。根据反函数定理，坐标变换在 $(x_0, y_0)$ 附近是局部可逆的。
提示：反函数定理要求雅可比行列式非零，且函数连续可微。
步骤 3/5
目标：推导反函数形式
由于 $f'(x_0) \neq 0$，$f(x)$ 在 $x_0$ 附近严格单调，存在反函数 $x = g(u)$，其中 $g$ 是 $f$ 的局部逆。
公式：x = g(u) \quad \text{满足} \quad f(g(u)) = u
提示：反函数存在性依赖于导数非零，但还需 $f$ 连续可导。
步骤 4/5
目标：用 $u$ 和 $v$ 表示 $y$
由 $v = x f(x) - y$ 代入 $u = f(x)$ 得 $v = u g(u) - y$，解得 $y = u g(u) - v$。
公式：y = u g(u) - v
提示：注意 $x f(x) = u g(u)$，因为 $f(x)=u$ 且 $x=g(u)$。
步骤 5/5
目标：写出逆变换形式
因此，逆变换为：
\[
\begin{cases} x = g(u), \\ y = u g(u) - v. \end{cases}
\]
提示：逆变换是局部定义的，依赖于 $g$ 的存在性。
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