下册 7.5 多元函数微分的应用 第1题

\section*{解题过程：} （1）由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=2(x-y+1)=0 \\ f_{y}(x, y)=-2(x-y+1)=0\end{array}\right.$ 得稳定点为 $y=x+1$ ． 由于 $f_{x x}=2, f_{x y}=-2, f_{y y}=2$ ，于是 $f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}=0$ 。故不能用极值的充分条件判断 $f$ 是否在稳定点取极值．但由于当 $y=x+1$ 时 $f(x, y)=0$ ，而 $y \neq x+1$ 时 $f(x, y)>0$ ，因而在 $y=x+1$ 上 $f(x, y)$ 取得极小值，也是最小值 0 。 （2）对 $f(x, y)=x^{2} y(4-x-y)=4 x^{2} y-x^{3} y-x^{2} y^{2}$ 求偏导数： $$ \begin{aligned} & f_{x}(x, y)=8 x y-3 x^{2} y-2 x y^{2}=x y(8-3 x-2 y), f_{y}(x, y)=4 x^{2}-x^{3}-2 x^{2} y=x^{2}(4-x-2 y) . \\ & f_{x x}(x, y)=8 y-6 x y-2 y^{2}, f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y)=8 x-3 x^{2}-4 x y, f_{y y}(x, y)=-2 x^{2} . \end{aligned} $$ 由 $\left\{\begin{array}{l}8-3 x-2 y=0 \\ 4-x-2 y=0\end{array}\right.$ 得稳定点为 $(2,1)$ ． 由 $f_{x x} f_{y y}-\left.f_{y x}{ }^{2}\right|_{(2,1)}=32>0$ 及 $f_{x x}(2,1)=-6<0$ 知点 $(2,1)$ 是极大值点，极大值为 4 ． （3）由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(1+2 x+4 y+2 y^{2}\right)=0 \\ f_{y}(x, y)=2 \mathrm{e}^{2 x}(1+y)=0\end{array}\right.$ 得稳定点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},-1\right)$ ． 在点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},-1\right)$ ， $$ f_{x x}\left(\frac{1}{2},-1\right)=2 \mathrm{e}>0, f_{y y}\left(\frac{1}{2},-1\right)=2 \mathrm{e}>0, f_{x y}\left(\frac{1}{2},-1\right)=0 $$ 故 $\displaystyle f_{x x} f_{y y}-\left.f_{y x}^{2}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=4 \mathrm{e}^{2}>0$ ．所以 $f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},-1\right)$ 取极小值 $\displaystyle -\frac{1}{2} \mathrm{e}$ 。 （4）对函数 $f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ 求偏导数： $$ \begin{gathered} f_{x}(x, y)=3 x^{2}+4 x-2 y, f_{y}(x, y)=-2 x+2 y \\ f_{x x}(x, y)=6 x+4, f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y)=-2, f_{y y}(x, y)=2 \end{gathered} $$ 解方程组 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=0, \\ f_{y}(x, y)=0,\end{array}\right.$ 得函数 $f(x, y)$ 的稳定点 $\displaystyle (0,0),\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)$ ． 在点 $(0,0)$ ， $$ a_{11}=f_{x x}(0,0)=4>0, a_{12}=f_{x y}(0,0)=-2, a_{22}=f_{y y}(0,0)=2 $$ 故 $\Delta=a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}=4>0$ ．所以函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 取得极小值 $f(0,0)=0$ ． 在点 $\displaystyle \left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)$ ， $$ a_{11}=f_{x x}\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)=0, a_{12}=f_{x y}\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)=-2, a_{22}=f_{y y}\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)=2, $$ 故 $a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}=-4<0$ ．所以点 $\displaystyle \left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)$ 不是函数 $f(x, y)$ 极值点． （5）函数 $w$ 的定义域为 $\{(x, y, z): x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0\}$ ． 由 $\displaystyle w_{x}=1-\frac{1}{x^{2} y z}=0, w_{y}=1-\frac{1}{x y^{2} z}=0, w_{z}=1-\frac{1}{x y z^{2}}=0$ 可知 $\displaystyle x=y=z=\frac{1}{x y z}$ ．解得 $(1,1,1)$ 和 $(-1,-1,-1)$ 为函数 $\displaystyle w=x+y+z+\frac{1}{x y z}$ 的稳定点． 当 $x, y, z>0$ 时，$\displaystyle x+y+z+\frac{1}{x y z} \geqslant 4 \sqrt[4]{x \cdot y \cdot z \cdot \frac{1}{x y z}}=4$ ．所以函数在点 $(1,1,1)$ 取得极小值 4 ． 当 $x, y, z<0$ 时，$\displaystyle x+y+z+\frac{1}{x y z} \leqslant-4$ ．所以函数在点 $(-1,-1,-1)$ 取得极大值 -4 ． （6）记 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ ，则 $w=u \mathrm{e}^{-u}$ ．由 $$ w_{x}=(1-u) \mathrm{e}^{-u} \frac{2 x}{a^{2}}=0, w_{y}=(1-u) \mathrm{e}^{-u} \frac{2 y}{b^{2}}=0, w_{z}=(1-u) \mathrm{e}^{-u} \frac{2 z}{c^{2}}=0 $$ 得稳定点集 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\right.\right\} \bigcup\{(0,0,0)\}$ ． 由 $w^{\prime}=(1-u) \mathrm{e}^{-u}\left\{\begin{array}{l}>0, u<1 \\ <0, u>1\end{array}\right.$ 知，$w$ 在球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 取极大值 $\mathrm{e}^{-1}$ ． 由 $\forall(x, y, z) \neq(0,0,0), w>0$ 知，$w$ 在点 $(0,0,0)$ 处取极小值 0 ．